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Limite factoriel

Posté par Profil Ramanujan 22-07-17 à 18:07

Bonjour,

Soit x un réel positif, je veux calculer la limite lorsque n tend vers + l'infini de le suite de fonction  :

f_n (x) = \frac{x^n e^{-x}}{n!}

Merci.

Posté par
jb2017re : Limite factoriel 22-07-17 à 18:18

Bonjour
pour répondre à ta question tout dépend de tes connaissances. Si tu sais que
la somme des x^n/n! c'est e^x la réponse est alors immédiate (au moins pour la limite simple. )

Posté par
Razesre : Limite factoriel 22-07-17 à 18:28

Formule de Stirling.

Posté par
larrechre : Limite factoriel 22-07-17 à 19:13

Bonjour,

Variante.
Soit N un entier supérieur à x (x positif), alors pour n >N,

\frac{x^n}{n!} = (\frac{x^N}{N!}) (\frac{x^{n-N}}{(N+1)(N+2)...(N+n-N)}\le(\frac{x^N}{N!})(\frac{x}{N+1})^{n-N}

or, \frac{x}{N+1}\le{1}, donc...

Posté par Profil Ramanujanre : Limite factoriel 22-07-17 à 20:46

@jb : La série des x^n / n! converge vers exp(x) donc le terme général (x^n /n!) converge vers 0 c'est ça ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite factoriel 22-07-17 à 20:51

@larrech :

On obtient : \frac {x^n}{n!} \leq \frac \frac {x^N}{N!}

Et après ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite factoriel 22-07-17 à 20:52

Ramanujan @ 22-07-2017 à 20:51

@larrech :

On obtient : \frac {x^n}{n!} \leq \frac \frac {x^N}{N!}

Et après ?


Plutôt :
\frac {x^n}{n!} \leq \frac {x^N}{N!}

Posté par
larrechre : Limite factoriel 22-07-17 à 21:03

N est fixe, on n'y touche plus. \frac {x^N}{N!}  est donc  une constante.
Et l'autre terme tend vers 0.

Rappel : si   |a|<1, alors \lim_{p\to +\infty} |a|^p =0

Posté par Profil Ramanujanre : Limite factoriel 22-07-17 à 21:36

larrech @ 22-07-2017 à 21:03

N est fixe, on n'y touche plus. \frac {x^N}{N!}  est donc  une constante.
Et l'autre terme tend vers 0.

Rappel : si   |a|<1, alors \lim_{p\to +\infty} |a|^p =0


J'ai pas compris.

Posté par
larrechre : Limite factoriel 22-07-17 à 21:49

Voir le message de 19h13
Dans le produit

(\frac{x^N}{N!})(\frac{x}{N+1})^{n-N}

le premier terme est constant (N est fixé une fois pour toutes, par exemple on prend N égal au premier entier immédiatement supérieur à x) et le second tend vers 0.

Donc le produit des 2 tend vers 0.

Posté par
jb2017re : Limite factoriel 22-07-17 à 23:43

@Rama..
Oui c'est ça. Disons c'est comme du cours.
Nécessairement le terme général de la série exp(x) tend vers 0.
Mais je n'ai pas lu les autres réponses  mais surement on te donne des indications pour montrer directement que x^n/n! tend vers 0.
Je veux ajouter aussi que lorsqu'il y a limite simple, la question naturelle est  
La limite vers 0 est-elle uniforme sur\R? je pense qu'il faut répondre  à cette question  
  

Posté par Profil Ramanujanre : Limite factoriel 23-07-17 à 13:08

larrech @ 22-07-2017 à 21:49

Voir le message de 19h13
Dans le produit

(\frac{x^N}{N!})(\frac{x}{N+1})^{n-N}

le premier terme est constant (N est fixé une fois pour toutes, par exemple on prend N égal au premier entier immédiatement supérieur à x) et le second tend vers 0.

Donc le produit des 2 tend vers 0.


\frac{x}{N+1})^{n-N} tend vers 0 car (x/N+1) <1 ah oui !

Merci


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