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Limite inférieure et supérieure d'une suite bornée
Bonjour à tous, je bosse en ce moment sur cet exercice et j'aurais aimé que vous corrigiez ma rédaction (l'exercice étant assez théorique, je pense que j'ai pu faire des erreurs à ce niveau là) et aussi m'apporter de l'aide sur les questions où je bloque. Merci d'avance^^.
1) Soit (un)n
une suite réelle bornée. Pour tout n, on note Un l'ensemble {uk}k
n={un,un+1,un+2...}.
a) Pourquoi Un possède-t-il une borne inférieure mn et une borne supérieure Mn pour tout n ?
Soit n. (un)n étant une suite bornée, on a donc :
n, 
M
tel que : un
M et m tel que : unm
Par restriction, on a donc : k[n;+
[, M tel que : ukM et m tel que : ukm.
Par conséquent, pour tout n, l'ensemble Un est borné et possède donc une borne supérieure que l'on note Mn et une borne inférieure que l'on note mn.
b) Montrer que pour tout n : mnunMn.
Initialisation : pour n=0, m0 et M0 étant respectivement les bornes inférieures et supérieures de U0, tous les éléments de celui-ci sont compris entre elles, soit : m0u0M0.
Récurrence : supposons la relation vraie au rang n. Montrons-la au rang n+1.
Au rang n+1, mn+1 et Mn+1 étant respectivement les bornes inférieures et supérieures de Un+1, tous les éléments de celui-ci sont compris entre elles, soit : mn+1un+1Mn+1.
Par conséquent, pour tout n, mnunMn.
Je suis vraiment pas sur de cette démonstration, elle me semble trop directe.
c) Montrons que (mn)n est croissante.
Soit n,p tel que n<p. Supposons mn>mp.
mn étant la borne inférieure de Un, k[n;+[, ukmn. Or mn>mp, donc k[n;+[, uk>mp, donc mp est aussi borne inférieure de Un. Or mn
mp par hypothèse, donc contradiction.
D'où, n,p, si n<p, alors mnmp.
Par conséquent, (mn)n est croissante.
d) On admettra de même que (Mn)n est décroissante.
En déduire que (mn)n et (Mn)n sont convergentes.
(Mn)n est décroissante et minorée par un d'après b), donc elle est convergente.
(mn)n est croissante et majorée par un d'après b), donc elle est convergente.
En déduire que : lim(n
)mnlim-n)Mn.
(mn)n et (Mn)n sont convergentes, et mnMn d'après b), donc
lim(n)mnlim-n)Mn.
Merci d'avance, n'hésitez pas à être critique et à proposer des démonstrations plus rapide si besoin est.
Bonjour
Qu'est-ce que tu es prolixe...
La réponse à la première question ne tient pas deboout. Revois l'ordre des quantificateurs et règle la question des majuscules et minuscules... Et d'ailleurs si tu écrivais en français une seule ligne suffirait!
Je n'ai pas lu lasuite!
camelia: Bonjour, je pense qu'il a en effet raison dans l'ordre des quantificateurs car il souhaite faire dépendre le minorant et le majorant de ... Un peu étrange, mais d'après l'énoncé c'est bien juste
Puisque la suite est bornée, il existe K+, n, |un|m, donc tous les "points" de la suite sont compris entre 2 réels, par conséquent, comme Un est l'ensemble des "points" de la suite d'indice n, alors tous ses éléments sont aussi compris entre 2 réels.
Ca s'annonce mal pour la suite 
.
Maintenant ça va...
Quand même, voilà une rédaction avec quantificateurs (que je ne préconise pas) possible. La suite étant bornée,
.
Ceci signifie que est un minorant et
un majorant de
. Soit
. Comme
,
est aussi un minorant de
et
un majorant.
Oui, b) est évident! Ecris-le en une ligne sans récurrence.
c) le plus simple est de montrer que pour tout
et là aussi c'est évident sans récurrence...
PS: qui a dit que ?
a) Pour revenir rapidement dessus, je sais que l'ordre des et est important et qu'en général les inversés ne donne pas la même chose. Mais dans le cas du majorant et du minorant, je ne vois pas la différence entre :
il existe un réel K tel que pour tout n, unK et pour tout n, il existe un réel K tel que unK. Dans les 2 cas, il existe un réel qui est plus grand que n'importe quel terme de la suite. Désolé si ça vous semble une évidence...
b) Soit n. mn et Mn sont respectivement les borne inférieures et supérieures de Un. Par conséquent, par définition, tous les éléments de Un sont compris entre elles. Par conséquent, n, mnunMn.
c) J'ai décidé de raisonner par l'absurde et mon hypothèse de départ est que mn est strictement supérieur à mp, par conséquent, mn ne peut égal être à mp.
Soit n. Soit mn la borne inférieure de Un.
Si mnUn+1, alors mn+1=mn.
Si mn
Un+1, alors mn+1>mn, si elle était inférieure, alors elle aurait aussi été la borne inférieure de Un.
En fait pour répondre à ces questions, j'ai visualisé à l'aide d'un schéma. Les réponses étaient évidentes dans ma tête mais c'est plus difficile de l'exprimer en langage mathématique. D'autre part, vous semblez conseiller d'utiliser des phrases françaises plutôt que des écritures mathématiques.
Merci pour votre aide. Dès qu'on aura éclairci cette première partie, je posterai la suite.
a) mais tu as écrit que pour tout il existe un réel M... ce qui est fondamentalement différent!
b) OK
c) Je ne comprends toujours pas! Simplement , donc
est un minorant de
. Comme
est
minorant de
, on a bien
a) Effectivement, j'ai lu dans un chapitre sur les ensembles que si une proposition est vraie, alors l'expression est vraie aussi mais qu'elle a une signification plus "faible".
c) C'est ce que j'ai essayé de dire mais visiblement je n'y suis pas arrivé clairement xD. Pour moi, étant donné que l'on ne sait pas le sens de variation de la suite un, il y avait 2 possiblités : soit mn est toujours le plus grand minorant de Un+1, par conséquent mn=mn+1 ; soit mn+1 est le plus grand minorant de Un+1, par conséquent il est forcément plus grand que mn, sinon il aurait aussi été le plus grand minorant de Un.
d) Est-elle juste ?
2) Le réel lim(n)mn est appelé la limite inférieure de (un)n et noté lim inf(n)un. De même, le réel lim(n)Mn est appelé la limite supérieure de (un)n et noté lim sup(n)un. Comme on vient de le voir : lim inf(n)unlim sup(n)un
Déterminer lim inf(n)(-1)n et lim sup(n)(-1)n.
Soit n. La suite n
(-1)n est bornée et mn=-1 et Mn=1.
Par conséquent, lim inf(n)(-1)n=lim(n)mn=-1 et lim sup(n)(-1)n=lim(n)Mn=1.
salut
pour compléter et peut-être visualiser de façon plus élémentaire ::
soit A 
B deux ensembles
compare Inf(A) et Inf(B) ; Sup(A) et Sup(B)
applique alors à A = Un et B = Un+1
.....
Soit A et B deux ensembles possédant tous les 2 deux une borne supérieure tel que B
A.
xB, xA, donc xsup A, donc sup A majore B, donc sup Bsup A.
xB, xA, donc xinf A, donc inf A minore B, donc inf Binf A.
C'est juste ?
Les questions 1)d) et 2) sont-elles justes que je puisse vous montrer ce que je fais dans la suite de l'exo ?
Merci beaucoup. Voici la suite :
3)a) Soit (un)n une suite bornée. Montrer que si lim(n)inf un=lim(n)sup un, alors (un)n est convergente et : lim(n)un=lim(n)inf un=lim(n)sup un.
Les suites (mn)n et (Mn)n sont convergentes d'après 1)d) et mnunMn d'après 1)b). Donc, d'après le théorème des gendarmes, un est convergente et lim(n)un=lim(n)inf un=lim(n)sup un.
b) Réciproquement, montrer que si (un)n est convergente, alors : lim(n)un=lim(n)inf un=lim(n)sup un.
Soit 
>0. Comme (un)n converge vers une limite que l'on notera l, N tel que nN, |un-l|, donc nN, l-unl+.
Ainsi, nN, l- est un minorant de Un et l+ un majroant. mn étant le plus grand minorant de Un et Mn le plus petit majorant, sachant que d'après 1)b), mnMn, on a : l-mnMnl+.
Par conséquent, |mn-l| et |Mn-l|
On a bien lim(n)un=lim(n)inf un=lim(n)sup un=l.
Est-ce juste ?
Bonjour, je suis désolé mais suite à un excédent de travail au boulot, j'ai du laisser en suspens cet exercice cette semaine mais j'aimerais bien le reprendre si il y a des profs qui veulent bien continuer à m'aider dessus. (Je rapelle que je suis en autodidacte et que je fais ces exercices de maths sur mon temps libre). Merci d'avance.
Voici la suite :
4) Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles bornées telles que unvn à partir d'un certain rang. Montrer qu'alors : lim(n)sup unlim(n)sup vn.
Notons Vn={vk/kn} et Mn' sa borne supérieure. Si unvn à partir d'un certain rang, alors MnMn', donc lim(n)sup unlim(n)sup vn.
5) Montrer que pour tout k* : 1/
(k+1)
(de k à k+1)dt/t/k.
La fonction t1/t est continue sur *+. Soit k*, on a :
(de k à k+1)dt/t=[2t]k+1k
=2((k+1)-k)
=2(k+1-k)/((k+1)+k)
=2/((k+1)+k)
Alors, on a :
2/((k+1)+k)-1/(k+1)=(2(k+1)-(k+1)-k)/((k+1)((k+1)+k))
=((k+1)-k)/((k+1)((k+1)+k))
>0, donc 1/(k+1)(de k à k+1)dt/t.
et :
2/((k+1)+k)-1/k=(2k-(k+1)-k)/(k((k+1)+k))
=(k-(k+1))/(k((k+1)+k))
<0, donc ](de k à k+1)dt/t/k.
Montrer que : 
(k=1àn)1/k~2n quand n.
J'ai un peu de mal sur cette question.
Soit k*. On a :
2((k+1)-k)1/k
(k=1àn)2((k+1)-k)(k=1àn)1/k
2((n+1)-1)(k=1àn)1/k
((n+1)-1)/n1/(2n)(k=1àn)1/k
Or ((n+1)-1)/n~(n+1)/n~n/n~1, donc lim(n)((n+1)-1)/n=1.
Mais après je bloque, je n'arrive pas à montrer que lim(n)((k=1àn)1/k)/(2n)=1.
Merci à celui ou celle qui me corrigera et me donnera un petit coup de pouce^^.
Il vaudrait mieux que tu rédiges sans (ça t'évitera certaines erreurs) et que tu utilises toutes les possibilités que t'offre ce qu'il y a au dessous de la fenêtre .
La stricte décroissance de h = (.)1/2 entraine que pour tout k * on a : h(k + 1) < kk+1 h < h(k) .
Si S : n 1n h(k) et H : x 1x = 2x1/2 - 2 tu as donc , pour tout n * , S(n + 1) - 1 < H(n+1) < S(n) (on ajoute "membre à bmembre" n inégalités ou encore H(n + 1) < S(n) < H(n) et donc H(n + 1)/H(n) < S(n)/H(n) < 1 .
Il te reste à montrer que H(n + 1)/H(n) 1 pour avoir S(n)/H(n) 1 càd S(n) ~ H(n)
Bonjour, je ne comprends pas comment vous trouvez que S(n)H(n), ça ne devrait pas plutôt être S(n)-1H(n) ?
Et le "raccourci" que vous utilisez pour prouver l'inégalité avec l'intégrale c'est un théorème de cours ?
...Oui S(n) < H(n) + 1 pour tout n et H(n + 1)/H(n) < S(n)/H(n) < 1 + 1/H(n) .
H(n + 1)/H(n) et (H(n) + 1)/H(n) tendent vers 1 .
...Le "raccourci" que j'utilise vient de :
Si h est décroissante sur [a , b] , pour tout x de [a , b] on a : h(a) h(x) h(b) donc (b - a)h(a) ab h (b - a)h(b) .
Inégalité que tu peux visualiser en considérant (dans le cas où h est 0) les rectangles R = [(a,0),(b,0),(b,h(b)),(a,h(b)] , S = [(a,0),(b,0),(b,h(a)),(a,h(a)] et l'ensemble G = {(x,y) } ² | a x b , 0 y h(x) }
Plus généralement : Si a b , si f et g sont continues de [a , b] vers et si f g alors : ab f ab g
Je n'ai pas encore vu le chapitre calcul intégral de la première année de prépa et je ne me souviens pas avoir vu ce théorème en terminale. Du coup ma méthode par le calcul est-elle juste ?
Pour la deuxième question, on a :
1/(k+1)2(k+1)-2k1/k, donc en additionnant membre à membre :
k=1n[/sup]1/(k+1)2(n+1)-2k=1n[sup]1/k
Or : k=1n[/sup]1/(k+1)=k=1n[sup]1/k-1, donc :
k=1n[/sup]1/k2(n+1)-1 et 2(n+1)-2k=1n[sup]1/k.
Donc : (2(n+1)-2)/(2n)(k=1n[/sup]1/k)/(2n)(2(n+1)-1)/(2n)
Or : 2(n+1)-2~2(n+1)~2n, donc limn(2(n+1)-2)/(2n)=1,
et : 2(n+1)-1~2(n+1)~2n, donc limn(2(n+1)-1)/(2n)=1.
D'après le théorème des gendarmes, limn](k=1n[sup]1/k)/(2n)=1.
Par conséquent, k=1n[sup][/sup]1/k~2n.
Est-ce juste ?
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