Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première LimitesTopics traitant de limites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Limite infinie.

Posté par
matheux14 26-08-20 à 08:50

Bonjour ,

Merci d'avance.

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de f en -∞ et en +∞.

a) f(x)=\sqrt{x²+3x+7}

b) f(x)=\sqrt{2x²+3x-5}-x+1

c) f(x)=\sqrt{x²+3x+5}+x-2

Réponses

a) On sait que :

\lim_{x\to+\infty}x²+3x+7=\lim_{x\to+\infty} x²=+\infty

Et \lim_{x\to-\infty}x²+3x+7=\lim_{x\to-\infty} x²=+\infty

Donc \lim_{x\to +\infty} \sqrt{x²+3x+7}=+\infty

Et \lim_{x\to -\infty}\sqrt{x²+3x+7}=+\infty


b) Je bloque..

Posté par
carpediemre : Limite infinie. 26-08-20 à 09:19

salut

quantité conjuguée ...

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 09:46

J'essaie mais çà marche pas..

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 10:04

Si on était face à un quotient ce serait bien , mais là ça coince vraiment..

Posté par
Priamre : Limite infinie. 26-08-20 à 11:13

Bonjour,
Je te suggère de mettre maintenant en facteur, au dénominateur, le terme de plus haut degré du radicande.

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 11:21

Il n'y a pas de quotient ici !!

Posté par
Priamre : Limite infinie. 26-08-20 à 11:29

Après avoir multiplié et divisé l'expression donnée par sa quantité conjuguée, on obtient bien une expression en forme de quotient.

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 11:37

Ah d'accord ,

Je comprends maintenant.

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Limite infinie. 26-08-20 à 13:14

bonjour à tous
pour le a), je dirais volontiers qu'avant de chercher les limites, faudrait être sûr qu'on peut le faire ! parce que si les fonctions ne sont pas définies, on ne risque pas de chercher la limite, non ?

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 13:22

Oui , il faut l'ensemble de définition avant toute chose..

b) J'arrive à \dfrac{x²+5x-6}{\sqrt{2x²+3x-5}+x-1}

Pour calculer les limites en ±∞ , est ce que je dois faire sortir 2x² sous la racine ?

Posté par
carpediemre : Limite infinie. 26-08-20 à 13:30

écrire 2x^2 + 3x - 5 sous forme canonique serait aussi une bonne idée ...

malou : oui j'y avais pensé ... mais sans donner forcément l'ensemble de définition mais une justification qu'il n'y a pas de pb en +oo et en -oo ...

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 13:37

Citation :
b) J'arrive à \dfrac{x²+5x-6}{\sqrt{2x²+3x-5}+x-1}

Pour calculer les limites en ±∞ , est ce que je dois faire sortir 2x² sous la racine ?

Posté par
carpediemre : Limite infinie. 26-08-20 à 14:13

ben essaie ... et vois ...

Posté par
pgeodre : Limite infinie. 26-08-20 à 14:17

Pour avancer avec cette forme, tu dois effectivement "sortir" le x²
(attention à la posivité ou non de la valeur), puis factoriser, en haut
en en bas, par le terme de plus haut degré, puis simplifier numérateur
et dénominateur.

Mais pour aller plus vite, il suffit, à partir de l'expression d'origine,
de "sortir" x en facteur de l'expression, c'est à dire factoriser f(x) par x.

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 14:29

Citation :
Pour avancer avec cette forme, tu dois effectivement "sortir" le x²
(attention à la posivité ou non de la valeur), puis factoriser, en haut
en en bas, par le terme de plus haut degré, puis simplifier numérateur
et dénominateur.


Comment est-ce possible ?

Citation :
Mais pour aller plus vite, il suffit, à partir de l'expression d'origine,
de "sortir" x en facteur de l'expression, c'est à dire factoriser f(x) par x.



f(x)=x(\dfrac{\sqrt{2x²+3x-5}}{x}+\dfrac{1-x}{x})
Çà marche bien par produit de limite.

Posté par
carpediemre : Limite infinie. 26-08-20 à 14:43

tout faux ... vu les FI ...

4x^2 + 6x - 10 = (2x - 3/2)^2 -49/4

donc en +oo f(x) \ge 2 \dfrac {x^2 + 5x - 6} {2x - 2 + x - 1} à partir de x \ge .... $ allez au pif $ 10^{100}

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 14:50

Comment çà ?

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 14:58

À part la forme canonique.

Je ne comprends rien..

Posté par
carpediemre : Limite infinie. 26-08-20 à 17:06

pardon :

carpediem @ 26-08-2020 à 14:43

tout faux ... vu les FI ...

4x^2 + 6x - 10 = (2x - 3/2)^2 -49/4

donc en +oo f(x) \ge {\red \sqrt 2} \dfrac {x^2 + 5x - 6} {2x - 2 + x - 1} à partir de x \ge .... $ allez au pif $ 10^{100}


compare les expressions \sqrt {4x^2 + 6x - 10} $ et $ 2x - 2 pour x (suffisamment) "grand"

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 19:45

√(4x²+6x-10)≥ 2x-2

Posté par
carpediemre : Limite infinie. 26-08-20 à 20:01

il faut évidemment le prouver ... mais alors je me suis trompé de sens !!!

montre plutôt que :

matheux14 @ 26-08-2020 à 19:45

√(4x²+6x-10)\red \le 2x + 2

Posté par
carpediemre : Limite infinie. 26-08-20 à 20:04

sinon directement (en fait je ne voulais pas m'em... avec des fractions) on a :

carpediem @ 26-08-2020 à 14:43

4x^2 + 6x - 10 = (2x - 3/2)^2 -49/4 \blue \le (2x - 3/2)^2

donc en +oo f(x) \ge \sqrt 2 \dfrac {x^2 + 5x - 6} {2x - 3/2 + x - 1} à partir de x \ge .... $ allez au pif $ 10^{100}

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 20:16

Je m'y perds...

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 26-08-20 à 21:28

Comment je peux faire pour trouver les limites en ±∞ de cette fonction ?

Posté par
Priamre : Limite infinie. 26-08-20 à 22:26

Tu pourrais essayer de "sortir le x² " du radical (cf 14h17) :

(2x² + 3x - 5) = (x²)(2 + 3/x - 5/x²)

puis de simplifier l'expression donnée ainsi modifiée et d'y faire tendre  x  vers  + oo  et vers  - oo .

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 09:46

Bonjour

f(x)=\dfrac{x²+5x-6}{x(\sqrt{2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{x²}}+1-\dfrac{1}{x})}

*\lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{x²+5x-6}{x(\sqrt{2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{x²}}+1-\dfrac{1}{x})}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x²}{x}=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty.

Donc \lim_{x\to+\infty}=+\infty.

*\lim_{x\to-\infty}f(x)=\dfrac{x²+5x-6}{x(\sqrt{2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{x²}}+1-\dfrac{1}{x})}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x²}{x}=\lim_{x\to-\infty}x=-\infty.

Donc \lim_{x\to-\infty}=-\infty.

c) f(x)=\sqrt{x²+3x+5}+x-2

*\lim_{x\to+\infty}x²+3x+5=\lim_{x\to+\infty}x²=+\infty

\Rightarrow \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x²+3x+5}=+\ifnty

\lim_{x\to+\infty}x-2=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty.

Par addition de limite , \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

*\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{7x+1}{x(\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x²}}-1+\dfrac{2}{x})}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{7x}{x}=7.

\lim_{x\to-\infty}f(x)=7

Posté par
mousse42re : Limite infinie. 27-08-20 à 10:26

Salut : problème de signe (je ne fais que passer

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 10:33

Tu pourrais m'indiquer la ligne s'il te plaît ?

Posté par
mousse42re : Limite infinie. 27-08-20 à 10:40

ce n'est pas une étourderie, mais du raisonnement, je te laisse réfléchir et comme je le disais, je ne fais que passer

Posté par
Priamre : Limite infinie. 27-08-20 à 11:07

(x²) = |x| .

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 11:57

Priam @ 27-08-2020 à 11:07

(x²) = |x| .
ah oui , je devrais donc poser des conditions et c'est gagné ...

Y'a que çà seulement comme erreur de ma part ?

Posté par
Priamre : Limite infinie. 27-08-20 à 14:44

Que trouves-tu pour  - oo ?

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 15:13

+∞ si x> 0 et -∞ si x<0

7 si x > 0  et -7 si x<0.

Posté par
Priamre : Limite infinie. 27-08-20 à 17:06

Pourquoi " 7 " ?
Comment fais-tu pour trouver cela ?

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 17:12

c) f(x)=\sqrt{x²+3x+5}+x-2

*\lim_{x\to+\infty}x²+3x+5=\lim_{x\to+\infty}x²=+\infty

\Rightarrow \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x²+3x+5}=+\ifnty

\lim_{x\to+\infty}x-2=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty.

Par addition de limite , \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

*\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{7x+1}{x(\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x²}}-1+\dfrac{2}{x})}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{7x}{x}=7.

\lim_{x\to-\infty}f(x)=7

Posté par
Priamre : Limite infinie. 27-08-20 à 18:22

c) Pour  x + , il n'y a pas d'indétermination.

Pour  x - , tu as multiplié et divisé par la quantité conjuguée.
Il conviendrait toutefois que tu rectifies le dénominateur ainsi

|x|(1 + 3/x - 5/x²) - x + 2 .

Puis simplifie par  x .

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 18:28

Comment çà ?

Tu parles de b) ou c) ?

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 18:33

Voilà l'expression au c) f(x)=\sqrt{x²+3x+5}+x-2

Posté par
alb12re : Limite infinie. 27-08-20 à 18:45

salut,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{7x+1}{x(-\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x²}}-1+\dfrac{2}{x})}

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 18:50

Oui , c'est ce que j'ai fait le 14  27-08-20 à 17:12.

Posté par
pgeodre : Limite infinie. 27-08-20 à 18:53

non pas tout à fait.
Il y a un signe moins devant la racine dans l'expression de alb12

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 19:00

Ah oui , mais pourquoi ce signe - là ?

Posté par
alb12re : Limite infinie. 27-08-20 à 19:19

au voisinage de moins l'infini |x|=-x

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 19:37

Ah ok.

Donc \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{7x+1}{x(-\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x²}}-1+\dfrac{2}{x})}=\lim_{x\to-\infty}-\dfrac{7x}{x}=-7

Posté par
alb12re : Limite infinie. 27-08-20 à 19:39

ton -7x/x est incorrect, il ne s'agit pas d'une fraction rationnelle.
Utiliser les operations sur les limites.

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 19:55

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{7x+1}{x(-\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x²}}-1+\dfrac{2}{x})}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x(7+\dfrac{1}{x})}{x(-\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x²}}-1+\dfrac{2}{x})}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{(7+\dfrac{1}{x})}{(-\sqrt{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x²}}-1+\dfrac{2}{x})}

Or \lim_{x\to-\infty}7+\dfrac{1}{x}=7

\lim_{x\to-\infty}1=1

\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3}{x}=0

\lim_{x\to-\infty}\dfrac{5}{x²}=0

==> \lim_{x\to-\infty}-\sqrt{\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x²}}=-1

\lim_{x\to-\infty}(-1+\dfrac{2}{x})}=-1

Donc \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\dfrac{7}{2}

Posté par
pgeodre : Limite infinie. 27-08-20 à 21:46

Il y a une coquille d'écriture à la 6° ligne.
Mais c'est correct.

Posté par
matheux14re : Limite infinie. 27-08-20 à 23:06

Ah oui ,

Merci


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !