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limite matrice

Posté par
martin9 13-02-22 à 11:22

Bonjour,

On considère la matrice :
A_n = \begin{pmatrix} 1& -\dfrac{a}{n} \\ \dfrac{a}{n}&1 \end{pmatrix}

Auriez-vous une indication pour le calcul de \lim_n A_n^n ?

(Contexte : isométrie vectorielle du plan)

Merci

Posté par
carpediemre : limite matrice 13-02-22 à 11:30

salut

commencer peut-être par calculer son carré et son cube pour voir ce qui se passe ...

our remarquer que A_n = \begin{pmatrix} 1& -\dfrac{a}{n} \\ \dfrac{a}{n}&1 \end{pmatrix} = I + \begin{pmatrix} 0& -\dfrac{a}{n} \\ \dfrac{a}{n}&0 \end{pmatrix} = I + J et remarquer que ces deux matrices commutent ...

calculer alors le carré et le cube de J pour voir ce qui se passe ...

Posté par
martin9re : limite matrice 13-02-22 à 12:05

D'accord merci mais quel est le lien avec les isométries vectorielle ?

Posté par
martin9re : limite matrice 13-02-22 à 12:07

Y'a t-il un lien avec une matrice du type :

R_\theta = \begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta)& cos(\theta) \end{pmatrix}

Posté par
carpediemre : limite matrice 13-02-22 à 12:35

peux-tu écrire A_n ainsi ?

pour l'instant je n'en vois pas ... à moins que tu ne nous aies pas donné tout l'énoncé ...

en particulier que sait-on de a ?

Posté par
martin9re : limite matrice 13-02-22 à 12:51

L'énoncé est complet. Ça donne envie de faire un DL à l'envers...

Posté par
carpediemre : limite matrice 13-02-22 à 13:17



pourquoi n'essaies-tu pas ce que je te propose ? (ce qui est le plus naturel vu la question)

Posté par
martin9re : limite matrice 13-02-22 à 16:55

D'accord mais quel est le résultat sur les matrices qui commutent ?

Posté par
carpediemre : limite matrice 13-02-22 à 17:09

AB = BA ... donc tu peux utiliser le binome de Newton ... si nécessaire ...

Posté par
martin9re : limite matrice 13-02-22 à 17:34

D'accord mais bon je ne vois pas tellement où ça mène

Posté par
carpediemre : limite matrice 13-02-22 à 18:03

bon ... ben si tu ne veux pas faire ... ce que tout à été dit à 11h30 ...

Posté par
verdurinre : limite matrice 13-02-22 à 18:38

Bonsoir,
une autre piste : soit \alpha_n=\arctan\dfrac{a}{n}.

On peut écrire A_n en fonction de \cos\alpha_n et \sin\alpha_n.

Il est alors facile de calculer A_n^n et de trouver sa limite.

Posté par
martin9re : limite matrice 13-02-22 à 19:41

Donc on a A_n = \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{cos(\alpha_n)}{sin(\alpha_n)} \\ \dfrac{cos(\alpha_n)}{sin(\alpha_n)} & 1 \end{pmatrix}
Et donc on peut décomposer cette matrice en matrices de rotation ?

Posté par
martin9re : limite matrice 13-02-22 à 19:44

Par contre j'ai inversé les sin et les cos.

Donc on peut juste factoriser les 1/cos(alpha n) non ?

Posté par
verdurinre : limite matrice 13-02-22 à 19:46

Quand même :

\large\color{red}\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}

Et 1=\dfrac{\cos x}{\cos x} sauf cas particuliers

Posté par
verdurinre : limite matrice 13-02-22 à 19:48

Oui, on peut factoriser 1/\cos\alpha_n

Posté par
martin9re : limite matrice 13-02-22 à 20:09

D'accord donc finalement la limite vaut R_\lambda

Merci à vous pour votre aide

Posté par
verdurinre : limite matrice 13-02-22 à 20:15

Je ne sais pas ce que tu appelles R_\lambda.
Mais la limite est bien une rotation.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite matrice 13-02-22 à 23:34

Bonsoir

je me lance dans la direction de Carpediem

\large \boxed{A_n^n= \left(\begin{array}{cc}1&-\frac{a}{n}\\\frac{a}{n}&1\end{array}\right)^n=\left(I+\frac{aS}{n}\right)^n~~,~~S=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)}

\large \boxed{\lim_nA_n^n=e^{aS}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{a^kS^k}{k!}=\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^ka^{2k}}{(2k)!}\right)I+\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^ka^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)S=\cos(a)I+\sin(a)S=\left(\begin{array}{cc}\cos(a)&-\sin(a)\\\sin(a)&\cos(a)\end{array}\right)}

Posté par
carpediemre : limite matrice 14-02-22 à 14:22

hou la !!

je n'avais pas du tout pensé et vu en fait ton idée d'exponentielle !!

plus modestement je pensais à une récurrence ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite matrice 14-02-22 à 14:31


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