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Limite ou pas limite

Posté par
derny 14-01-22 à 17:49

Bonjour
J'ai une série dont je ne sais pas si elle a une limite. La voici :
((((((1+\frac{1}{8})\frac{4}{3}+\frac{2}{27})\frac{9}{8}+\frac{3}{64})\frac{16}{15}+\frac{4}{125})\frac{25}{24}+\frac{5}{216})\frac{36}{35}+\frac{6}{343})\frac{49}{48}+...
Les numérateurs sont la suite des nombres et des carrés. Les dénominateurs sont soit le numérateur moins un soit les cubes.
Quelle est la limite si elle existe ?

Posté par
ty59847re : Limite ou pas limite 14-01-22 à 18:27

Je conjecture que la limite est e
J'ai quelques arguments pour dire qu'on ne dépassera pas e.
Et quand on arrive à 2,63 ou 2,64  et qu'on sait qu'on ne dépassera pas e, on pense qu'on atteindra pile poil e.

Posté par
Zormuchere : Limite ou pas limite 14-01-22 à 19:59

Bonjour

Ayant calculé les 100 millions de premiers termes, je sais qu'une observation ne vaut pas preuve, mais je doute beaucoup de la convergence vers e

arrivé vers environ 2.644930, la progression de la suite fait que je pense qu'elle converge vers ce coin-là

Posté par
dernyre : Limite ou pas limite 14-01-22 à 20:50

Bonsoir
100 millions ! pas mal. Avec quel logiciel ? Mais 2.644930 est "loin" de e tu ne trouves pas ? Je pense plutôt à 1+Zéta2.

Posté par
carpediemre : Limite ou pas limite 14-01-22 à 21:58

salut

n'aurait-on pas :

u_1 = 1 + \dfrac 1 {(1 + 1)^3} = 1 + \dfrac 1 {(1 + 1)^2} - \dfrac 1 {(1 + 1)^3} \\ u_2 =\dfrac {2^2} {2^2 - 1} u_1 + \dfrac 2 {(2 + 1)^3} = u_1 - \dfrac 1 {2^2 - 1} u_1 + \dfrac 1 {(2 + 1)^2} - \dfrac 1 {(2 + 1)^3} \\ ... \\ u_n = \dfrac {n^2}{n^2 - 1} u_{n - 1} + \dfrac n {(n+ 1)^3} = u_{n - 1} - \dfrac 1 {n^2 - 1} u_{n - 1} + \dfrac 1 {(n + 1)^2} - \dfrac 1 {(n + 1)^3}

donc u_n = 1 - \sum_1^{n - 1} \dfrac 1 {k(k + 2)} u_k + \sum_1^n \dfrac 1 {(k + 1)^2} - \sum_1^n \dfrac 1 {(k + 1)^3}

or \dfrac 1 {k(k + 2)} = \dfrac 1 2 \left( \dfrac 1 k - \dfrac 1 {k + 2} \right) donc somme téléscopique ...

ouais bon j'sais pas si ça fait avancer le schmilblick ...

mais ça me permet de suivre ...

sauf plein d'erreurs bien entendu ...

Posté par
dernyre : Limite ou pas limite 14-01-22 à 23:12

carpedien, dans la 2e partie de u2 c'est un "+" au lieu d'un "-" après u1. Je reprends tout ça demain.
En attendant, merci à tous.

Posté par
carpediemre : Limite ou pas limite 15-01-22 à 09:35

oui le coefficient fractionnaire des u_k est un moins ...

après je ne sia spas si ça aide à cause de cette première somme ...

Posté par
Zormuchere : Limite ou pas limite 15-01-22 à 16:35

derny, j'ai fait ça en python. Ce n'est sans doute pas le meilleur, mais c'est celui que je maîtrise. J'ai utilisé les librairies matplotlib et numpy.

J'ai d'abord écrit une définition mathématique de ta suite
u_2=1\qquad u_{n+1}=\left(u_n+\dfrac{n-1}{n^2}\right)\times \dfrac{n^2}{n^2-1} 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100000000

u = 1
liste = [u]
for n in range(2,N):
    u = (u+(n-1)/n**3)*n**2/(n**2-1)
    liste.append(u)
plt.figure()
plt.plot(liste)
plt.axhline(np.e)
plt.show()

Posté par
Zormuchere : Limite ou pas limite 15-01-22 à 16:36

Rectification : dans la définition c'est bien n^3 au dénominateur de la fraction à l'intérieur de la parenthèse

Posté par
Zormuchere : Limite ou pas limite 15-01-22 à 19:42

Du coup oui, c'est très très très probablement égal à 1+\dfrac{\pi^2}{6}

Posté par
alb12re : Limite ou pas limite 16-01-22 à 20:40

salut,
Bien vu et

Posté par
dernyre : Limite ou pas limite 17-01-22 à 10:12

Bonjour
Finalement un petit programme Basic (à l'ancienne donc) aurait suffit pour approcher le résultat.
J'avais d'autres suites et le Basic (je ne me suis pas encore mis au python) m'a permis de trouver les limites. Bien sûr qu'on peut se servir de Wolfram mais je n'y avais pas pensé.
Merci à tous.


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