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limite pas évidente

Posté par
letonio 27-04-05 à 16:49

Bonjour tout le monde,
Je bute sur une limite.
Soit a un réel strictement compris entre 0 et 1.
On pose u(x)= ln(1 +ax) - a ln(1+x)
Calculer la lim en +inf

Voilà ce que j'ai écrit:
u(x)= ln (1+ax)+ln( (1+x)^-a) =ln [ (1+ax)(1+x)^-a ]
= ln [(1+ax)/(1+x)^a]

Mais le a de 1+ ax m'enquiquine. Je ne sais pas comment m'en tirer...

Posté par
Nightmarere : limite pas évidente 27-04-05 à 17:12

Bonjour

3$\rm\frac{1+ax}{(1+x)^{a}} est une fraction rationnelle c'est à dire que son numérateur et son dénominateur sont des polynômes .
En effet , on a :
3$\rm P(x)=1+ax et 3$\rm Q(x)=(1+x)^{a}

Le terme de plus haut degré de P sera ax et le terme de plus haut degré de Q sera x^{a} ( si l'on développe )
On en déduit alors :
3$\rm\lim_{x\to +\infty} \frac{ax+1}{(1+x)^{a}}=\lim_{x\to +\infty} \frac{ax}{x^{a}}

or :
3$\rm\frac{ax}{x^{a}}=\frac{a}{x^{a-1}}\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} 0

Ainsi :
3$\rm\lim_{x\to +\infty} \frac{ax+1}{(1+x)^{a}}=0

et au final :
3$\rm\lim_{x\to +\infty} \ln\(\frac{ax+1}{(1+x)^{a}}\)=-\infty


jord

Posté par
letoniore : limite pas évidente 27-04-05 à 17:21

ok merci

Posté par
dadoure : limite pas évidente 27-04-05 à 17:24

Attention Nightmare,

a est un reel compris entre 0 et 1.
(1+x)a n'est donc pas un polynome

Dadou

Posté par
Nightmarere : limite pas évidente 27-04-05 à 17:25

j'avais mal lu l'énoncé

Posté par
nicodelafacre : limite pas évidente 27-04-05 à 17:32

Pour calculer la limite de [(1+ax)/(1+x)^a], il faut passer par exp(ln([(1+ax)/(1+x)^a]), ensuite c'est rapide...

Nicolas

Posté par
dadoure : limite pas évidente 27-04-05 à 17:35

Ceci dit ton raisonnement est juste à ceci pres que
\frac{a}{x^{a-1}}->+\infty puisque a-1 est négatif.
Dadou

Posté par
Nightmarere : limite pas évidente 27-04-05 à 17:41

Bon je reprend .

il suffit d'écrire :
4$\rm u(x)=ln\(x\(\frac{1}{x}+a\)\)-aln\(x\(\frac{1}{x}+1\)\)
<=>
4$\rm u(x)=ln(x)+ln\(\frac{1}{x}+a\)-aln(x)-aln\(\frac{1}{x}+1\)
<=>
4$\rm u(x)=(1-a)ln(x)+ln\(\frac{1}{x}+a\)-aln\(\frac{1}{x}+1\)

Nous avons :
\rm\{{\(\(ln(x)\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} +\infty}\) et \(0<a<1 \Longrightarrow 1-a>0\) \)\Longrightarrow \((1-a)ln(x)\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} +\infty\)\\\{{\(\frac{1}{x}+a\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} a\) \Longrightarrow \(ln\(\frac{1}{x}+a\)\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} ln(a)\)\\\(\frac{1}{x}+1\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} 1\)\Longrightarrow \(ln\(\frac{1}{x}+1\)\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} 0 \)\Longrightarrow \(aln\(\frac{1}{x}+1\)\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} 0\)}\ \Longrightarrow \(\[ln\(\frac{1}{x}+a\)-aln\(\frac{1}{x}+1\)\]\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} ln(a)\)

Et par sommation :
4$\rm\fbox{u(x)\displaystyle\longrightarrow_{x\to +\infty} +\infty}


Jord

Posté par
dadoure : limite pas évidente 27-04-05 à 17:48

Pour ma part je preferais ta premiere demonstration,
à la correction pres donnée ci-dessus.

Dadou

Posté par
Nightmarere : limite pas évidente 27-04-05 à 17:52

Oui enfin sauf que ma premiere démonstration est fausse étant donné que je me base sur des polynôme inexistants


jord

Posté par
dadoure : limite pas évidente 27-04-05 à 17:59

La ligne :
\lim_{+\infty}\frac{1+ax}{(1+x)^a}=\lim_{+\infty}\frac{ax}{x^a} est correcte (en utilisant des equivalents).
En effet, on a au voisinage de + infini
1+ax equiv à ax
(1+x)a equiv a  xa.

Dadou

Posté par
Nightmarere : limite pas évidente 27-04-05 à 18:01

Oui c'est vrai , mais bon j'ai quand même dis que c'était des polynômes et à partir du moment ou quelque chose dans le raisonnement est faux , tout le raisonnement est faux

Et puis au moin il a deux démonstrations et en outre , les équivalents ne sont pas au programme de terminale


jord


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