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[limite] Puissance rationnelle

Posté par
Mathes1 08-11-20 à 10:13

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Calculer les limites suivantes
1)•\lim_{x\to +\infty} x^{\dfrac{2}{3}}-x^{\dfrac{1}{2}}
2)•\lim_{x\to 0_+}\dfrac{(4-x^{\dfrac{2}{3}})^{\dfrac{3}{2}} -8}{x}
Franchement je ne sais pas quoi commencer , pour la 1er est ce que je vais fait le conjugué de (x2/3-x1/2) qui est (x2/3-x1/2)
Et puis on obtient une identité remarquable en numérateur et ensuite factorisation par x ?
Une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Pirhore : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 10:22

Bonjour,

1)factorise  par \sqrt{x}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 10:23

Bonjour,
Pour la première, tu fais un peu comme pour une fonction polynôme :
Mettre en facteur le terme de plus haut degré.
Sauf qu'ici les degrés ne sont pas des vrais degrés.

Pour les deux : commencer par vérifier qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 10:23

Bonjour Pirho

Posté par
Pirhore : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 10:26

Bonjour Sylvieg

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 11:20

Bonjour à vous deux,
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses
D'accord je factorise par \sqrt{x} qui est x1/2
Donc x^{\dfrac{1}{2}}\left(x^{\dfrac{1}{6}}-1 \right)
Les deux limites sont des formes indéterminés
1) +-
2) 0/0
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 11:27

Que trouves-tu comme résultat ?

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 11:37

Bonjour
Je trouve :
\lim_{x\to +\infty}x^{\dfrac{1}{2}}\left(x^{\dfrac{1}{6}}-1 \right)=[tex]\lim_{x\to +\infty} x^{1/2} ×\lim_{x\to +\infty} x^{1/6}-1=+\infty×[+\infty]=+\infty
[/tex]
D'où \boxed{\red{\lim_{x\to +\infty} x^{\dfrac{2}{3}}-x^{\dfrac{1}{2}}=+\infty}}
Merci beaucoup
Pour la deuxième est ce que je factorise par x1/2
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 11:41

salut,
j'ai l'impression que tu ne tiens pas compte des remarques qui t'ont ete faites dans d'autres sujets

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 11:57

Ton résultat est juste pour la 1ère limite. Mais avant d'écrire des égalités qui partent de

\lim_{x\to +\infty}x^{\dfrac{1}{2}}\left(x^{\dfrac{1}{6}}-1 \right), il faudrait avoir justifié que cette limite existe.
On évite d'écrire des produits du genre .
On justifie que le 1er facteur a comme limite +.
Puis on justifie que le 2nd facteur a comme limite +.
On peut alors conclure sur le produit.

Pour la seconde limite, Quand on a une forme indéterminée du type "0/0", on doit penser à quelque chose.
Je pense que c'est ce que veut dire alb12 que je salue au passage

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 12:03

bonjour, oui, ecrire en latex une redaction aussi incorrecte c'est embetant
fais un effort et tiens compte des conseils.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 12:29

Je ne vais plus être disponible

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 12:44

Bonjour à tous
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses
Monsieur alb12 estimé : je suis tellement désolé
Voici ce que j'ai fait pour le moment ,
transformation:
2)•\dfrac{(4-x^{\dfrac{2}{3}})^{\dfrac{3}{2}} -8}{x}=\dfrac{(\sqrt[3]{4-\sqrt[3]{x²}})^3-2^3}{x}=\dfrac{(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}}-2)(8-\sqrt[3]{x²}+2\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})}{x}
Merci beaucoup
Je voulais juste une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance je bloque totalement

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 13:46

c'est toujours indetermine à droite
en terminale je ne vois pas comment faire
A l'aide !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 13:57

Je suis revenue.
Une coquille, c'est une racine carrée et pas cubique avant le 4 : \dfrac{(4-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} -8}{x}=\dfrac{(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})^3-2^3}{x}
Tu as utilisé une factorisation de a3-b3.
Mais elle comporte une erreur.
Au numérateur, tu as 2 facteurs :
\sqrt{4-\sqrt[3]{x^2}}-2 \; et l'autre à corriger.

Tu peux essayer d'utiliser la quantité conjuguée de ce 1er facteur.

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 14:20

oui bien vu mais que de calculs !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 14:24

Oui, j'essaye de guider à partir des initiatives du demandeur.
Quand il aura ainsi abouti, on pourra lui proposer d'autres cheminements

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 14:30

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})^3-2^3=(\sqrt{4-\sqrt[3]{x^2}}-2)(8-\sqrt[3]{x²}+2\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})}
Je ne vois pas où ce trouve l'erreur
Oui vous avez strictement raison : c'est une racine carrée et pas cubique avant le 4 .
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 14:40

Tu as strictement raison aussi

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 14:41

Bonjour
D'accord
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 14:42

et bravo pour le latex

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 14:54

Bonjour
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses
\dfrac{(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}}-2)(8-\sqrt[3]{x²}+2\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})}{x}=\dfrac{(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}}+2)(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}}-2)(8-\sqrt[3]{x²}+2\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})}{x(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}}+2)}=\dfrac{-\sqrt[3]{x²}(8-\sqrt[3]{x²}+2\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})}{x(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}}+2)}
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 15:00

Tu pourras dire merci quand tu auras réussi à conclure sur la limite.
Tu n'es plus loin.

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 15:35

Bonjour,
•\lim_{x\to 0_+}\dfrac{-\sqrt[3]{x²}(8-\sqrt[3]{x²}+2\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})}{x(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}}+2)}
•on calcule d'abord \lim_{x\to 0_+}\dfrac{-\sqrt[3]{x²}}{x}:
\lim_{x\to 0_+}\dfrac{-\sqrt[3]{x²}}{x}=\lim_{x\to 0_+}-\sqrt[3]{\dfrac{x²}{x^3}}=\lim_{x\to 0_+} -\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}}=\red{-\infty}
• ensuite on calcule :
\lim_{x\to 0_+}\dfrac{(8-\sqrt[3]{x²}+2\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}})}{(\sqrt{4-\sqrt[3]{x²}}+2)}=\red{3}
Par conséquent :
\boxed{{\color{red}{\huge \lim_{x\to 0_+}\dfrac{(4-x^{\dfrac{2}{3}})^{\dfrac{3}{2}} -8}{x}=-\infty}}}
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 15:55

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 15:59

Bonjour
Merci beaucoup
Bonne journée

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 16:01

@Sylvieg
tu vois une autre methode ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 16:10

Bof...
Faire apparaître un nombre dérivé ne m'a pas inspiré car la fonction que je faisais apparaître n'était pas dérivable en 0.

Sinon, multiplier dès le début numérateur et dénominateur par \; (4-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} +8 \; fonctionne. Un peu plus rapidement ?

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 17:14

oui bof
@Mathes1
tu es en terminale en france ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 08-11-20 à 22:20

Pour utiliser un nombre dérivé : Poser X = x2/3

\dfrac{(4-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} -8}{x}= \dfrac{(4-X)^{\frac{3}{2}} -8}{X} \times \dfrac{1}{\sqrt{X}}

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 09-11-20 à 11:17

Elegantissime

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 09-11-20 à 12:27

N'exagérons pas

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 09-11-20 à 13:08

@Mathes1
tu noteras la superiorite de la demo de Sylvieg sur celle utilisant une factorisation difficile à generaliser

Posté par
Mathes1re : [limite] Puissance rationnelle 09-11-20 à 13:28

Bonjour à tous,
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses
D'accord
\dfrac{(4-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} -8}{x}= \dfrac{(4-X)^{\frac{3}{2}} -8}{X} \times \dfrac{1}{\sqrt{X}}
Si je dérive (4-X)^{\frac{3}{2}} -8
Je trouve :
\dfrac{-3\sqrt{4-x}}{2}
Substituer par 0
Je trouve -3
-3 est la solution de limite x tend vers 0+ de 1er expression de facteur
C'est à dire :
\dfrac{(4-X)^{\frac{3}{2}} -8}{X}
Ensuite je calcule la limite de seconde expression c'est à dire
\dfrac{1}{\sqrt{X}}
Je trouve +
En somme :
2)•\lim_{x\to 0_+}\dfrac{(4-x^{\dfrac{2}{3}})^{\dfrac{3}{2}} -8}{x}=\red{-\infty}
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : [limite] Puissance rationnelle 09-11-20 à 13:45

ta conclusion est trop hative
il y a une composition de limites là dessous

la limite de x^(2/3)=X quand x tend vers 0 est 0
la limite de ((4-X)^(3/2)-8)/X quand X tend vers 0 est -3

donc la limite de ((4-x^(2/3))^(3/2)-8)/x^(2/3) quand x tend vers 0 est -3

Posté par
Sylvieg Moderateurre : [limite] Puissance rationnelle 09-11-20 à 14:21

Oui, et j'aurais choisi une autre fonction à dériver :
g(x) = (4-x)3/2. g est dérivable sur ]-;4[.

g'(0) = -3 . Donc \; \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{g(x)-g(0)}{x-0} = -3 .


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