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limite quotient

Posté par
tetras
16-12-24 à 18:40

Bonjour
déterminer la limite en 4 de f(x)=

\frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}

j'ai multiplié numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée x+2x puis factorisé par x-4
il reste lim \frac{x}{x+2\sqrt{x}}
=1/2?

je trouve bizarre car j'ai tracé la courbe sur la calculatrice et la courbe semble continue en 4

Posté par
carpediem
re : limite quotient 16-12-24 à 19:11

salut

il n'y a pas que la quantité conjuguée dans la vie !!

c'est le même principe qu'ici : limite racine

Posté par
carpediem
re : limite quotient 16-12-24 à 19:14

ha non pardon on cherche la limite en 4 !!

ce que tu as fait est exact ... mais je t'invite à considérer la fonction f : x \mapsto x - 2 \sqrt x pour comprendre ton résultat ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limite quotient 16-12-24 à 19:28

Bonsoir,
Je t'invite de plus à factoriser numérateur et dénominateur de l'expression de f(x).
Si tu ne vois pas comment, tu peux poser X = x

Après avoir simplifié, tu trouveras une expression qui permet de prolonger f en 4 par continuité.

Tu peux préférer utiliser ce que tu as trouvé, c'est à dire \dfrac{x}{x+2\sqrt{x}} qui permet aussi de prolonger f en 4 par continuité.

Posté par
tetras
re : limite quotient 17-12-24 à 10:12

en posant X=x j'ai trouvé  f(x)=\dfrac{x}{x+2\sqrt{x}}
on peut donc dire que pour tout xf
f(x)= \dfrac{x}{x+2\sqrt{x}}
mais 4 n'a pas d'image c'est bien ça?

Posté par
carpediem
re : limite quotient 17-12-24 à 11:06

plus précisément si on pose f(x) = \frac {x - 2 \sqrt x}{x - 4}  et  g(x) = \dfrac x {x + 2 \sqrt x}  alors :

l'ensemble de définition des fonctions f et g est respectivement D_f = [0, + \infty [ - \{4\}  et D_g = ]0, +\infty[

ces fonctions n'ont pas même ensemble de définition donc elles ne sont pas égales ...

mais pour tout x \in D_f \cap D_g  :  f(x) = g(x)

or g(4) = 1/2 et g est continue au voisinage de 4 (et même sur son ensemble de définition donc on peut (décider de) poser f(4) = g(4) = 1/2

de même on pourrait poser g(0) = 0 car f(0) = 0


REM : on peut décider de poser g(0) = 10 ... mézalor g ne serait pas continue au voisinage de 0
et de même on pourrait décider de poser f(4) = 10 ... mézalor f ne serait pas continue en 4

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limite quotient 17-12-24 à 15:56

Bonjour,
@tetras,
Dans ton message de 10h12, tu redonnes la même expression que dans ton 1er message.
Son défaut est d'introduire la valeur interdite 0 en plus de 4.

Je tente d'être un peu plus explicite :
Remplacer x par X dans l'expression de f(x) donne X2-2X au numérateur et X2-4 au dénominateur.
Les deux se factorisent. Leur quotient se simplifie et permet de trouver une expression de f(x) sans valeur interdite positive.

Expression que l'on peut aussi trouver en simplifiant \dfrac{x}{x+2\sqrt{x}} par \sqrt{x}.

Posté par
tetras
re : limite quotient 17-12-24 à 16:09

l'expression factorisée est \frac{ \sqrt {x}}{\sqrt{x}+2}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limite quotient 17-12-24 à 16:16

Oui, ce n'est pas vraiment ce qu'on appelle une expression factorisée
C'est l'expression que l'on obtient après avoir simplifié la fraction.

Pour tout x de [0, + \infty [ - \{4\}, on a f(x) = \dfrac{ \sqrt {x}}{\sqrt{x}+2}.

Posté par
tetras
re : limite quotient 17-12-24 à 16:18

oui plus exactement! merci
Peux tu m'aider sur mon dernier sujet?



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