limite simple de projecteur

 Niveau Master MathsPartager :
			        
limite simple de projecteur
Posté par 
milton  31-07-20 à 12:04
Bonjour

Toute aide sur cette question me facilitera grandement la vie.

Soit  un espace de Banach,  une suite de projecteur bornes de  convergeant simplement vers un opperateur non nul et borne (grace au theoreme de banach-steinauss) .

Question :  est-il un projecteur?

Merci beaucoup
 Posté par 
carpediemre : limite simple de projecteur  31-07-20 à 13:17
salut

je partirai de la définition d'un projecteur :

pour tout i il existe des sous-espaces Ii et Ki de E tels que   (image et noyau de pi)

soit alors maintenant un élément x de E ...

pour tout i il existe des éléments y et z dans l'image et le noyau de pi tels que 

puis je fais tendre i vers l'infini ...

à voir ...
 Posté par 
Foxdevilre : limite simple de projecteur  31-07-20 à 13:31
Salut,

On peut également utiliser la définition équivalente à celle cité par carpediem, qui est que  est un opérateur linéaire vérifiant .
 Posté par 
miltonre : limite simple de projecteur  31-07-20 à 13:36
Merci beaucoup pour votre intervention.

peut etre  que je suis pas vraiment focus mais je n arrive toujours pas a en tirer que 
 Posté par 
carpediemre : limite simple de projecteur  31-07-20 à 13:48
appliquant p_i à mon égalité on obtient donc 

puis on fait tendre i vers l'infini ...
 Posté par 
miltonre : limite simple de projecteur  31-07-20 à 14:29
merci beaucoup a vous deux.
 Posté par 
carpediemre : limite simple de projecteur  31-07-20 à 14:53
de rien ... mais ce n'est pas encore fini ...

on va arriver à 

or p est borné ... donc on devrait pouvoir montrer que 

puis ensuite sachant que  on devrait pouvoir arriver à montrer que pour tout x  : x = y + z avec y = p(x) et z dans le noyau de p et que cette somme est unique ...

en espérant ne pas dire de bêtise ... 
 Posté par 
Foxdevilre : limite simple de projecteur  31-07-20 à 16:11
On peut faire plus simple je pense. On a:

 ; où la dernière égalité se justifie par:

 par B-S (M ne dépend pas de i).

ça tend bien vers 0 par convergence simple des .
 Posté par 
carpediemre : limite simple de projecteur  31-07-20 à 16:31
ha oui c'est beaucoup plus efficace et concis ... 
 Posté par 
malou re : limite simple de projecteur  01-08-20 à 13:41
milton, bonjour

merci de compléter ton profil

extrait de  la FAQ du forum :Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?
Oui, indiquer son niveau  (dans son profil) et celui du problème est obligatoire lorsqu'on pose une question.

Un correcteur pourra ainsi facilement juger s'il est en mesure de vous aider ou non. En l'absence de cette précision, aussi bien sur votre profil que sur le forum dans lequel le sujet est publié, il risque moins de vous indiquer une méthode que vous n'avez pas encore vue en classe, etc.

De même, si vous êtes élèves dans un pays francophone, vous pouvez consulter les  équivalences des systèmes de niveaux scolaires afin de choisir le niveau de la classe française correspondant à votre classe. Cela permet au correcteur d'intégrer le fait que votre niveau scolaire ne correspond pas forcément à celui stipulé dans les programmes français en vigueur.

 Il est de même demandé aux aidants de renseigner leur profil, ce qui en général donne une  bonne indication du niveau de l'aide apportée. 

 Posté par 
miltonre : limite simple de projecteur  06-11-20 à 22:12
Bonjour à tous.

Encore merci à tous pour vos apports.

La solution defoxdevill est limpide et résoudre parfaitement la question. Mais aussi j'aimerais avoir  celle de carpediem. Ça me sera d'une grande utilité si vous(carpediem) pouvez me détailler votre solution suivant la méthode que vous exposiez. 

Merci
 Posté par 
carpediemre : limite simple de projecteur  07-11-20 à 09:08
je ne sais pas si ce que j'ai proposé marche vraiment ... mais en master à toi de chercher et tripatoullier cela correctement ...

l'idée étant bien sûr d'arriver au résultat p(x) = p^2(x)

je pense qu'on travaille comme Foxdevil (dont la démonstration est très efficace) mais le chemin que j'ai choisi me semble plus technique ...
 Posté par 
miltonre : limite simple de projecteur  07-11-20 à 21:27
La démo de foxdevill me semble très metrique,  et très peu adapter lorsqu'on essaie d'etudier le même résultat dans le cadre plus général des espace vectoriels topologiques seulement supposés localement convexes. J'aimerais que vous développiez votre méthode pour que je saisisse le point où vous ne pouvez plus vous passez de la norme, et là voir comment si c'est possible le contourner par des argument purement algébriques et topologiques. Bref détaillés moi si c'est possible votre idée de départ. 
 Posté par 
miltonre : limite simple de projecteur  08-11-20 à 10:56
 Posté par 
Foxdevilre : limite simple de projecteur  09-11-20 à 22:44
Citation :
La démo de foxdevill me semble très metrique,  et très peu adapter lorsqu'on essaie d'etudier le même résultat dans le cadre plus général des espace vectoriels topologiques seulement supposés localement convexes.
 Tout ce que j'ai dit peut facilement se réadapter pour les EVTLC. Il faut juste enlever les normes.

Le terme  converge vers 0 par convergence simple des  et le terme  converge aussi vers 0 par convergence uniforme de  vers p par BS pour les EVTLC.
 Posté par 
miltonre : limite simple de projecteur  13-11-20 à 11:36
Bonjour à tous.

J'expose ici la généralisation dont je parlais dans mon dernier post.

On désigne par 
  Posté par 
miltonre : limite simple de projecteur  13-11-20 à 11:45
La topologie faible sur , alors  les projecteurs  restent continus. J'aimerais mr foxdevill que vous m'expliquiez un peu comment on utilise alors B-s. L'énoncé de B-S que je connais demande que l'espace source soit maîtrisable. 

Merci d'avance.