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Niveau Master Maths
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limite simple de projecteur

Posté par
milton
31-07-20 à 12:04

Bonjour
Toute aide sur cette question me facilitera grandement la vie.

Soit E un espace de Banach, (p_i) une suite de projecteur bornes de E convergeant simplement vers un opperateur non nul et borne (grace au theoreme de banach-steinauss) p.

Question : p est-il un projecteur?

Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : limite simple de projecteur 31-07-20 à 13:17

salut

je partirai de la définition d'un projecteur :

pour tout i il existe des sous-espaces Ii et Ki de E tels que E = I_i \bigoplus K_i  (image et noyau de pi)

soit alors maintenant un élément x de E ...

pour tout i il existe des éléments y et z dans l'image et le noyau de pi tels que x = y_i + z_i = p_i(x) + z_i

puis je fais tendre i vers l'infini ...

à voir ...

Posté par
Foxdevil
re : limite simple de projecteur 31-07-20 à 13:31

Salut,

On peut également utiliser la définition équivalente à celle cité par carpediem, qui est que p_i est un opérateur linéaire vérifiant (p_i)^2 = p_i.

Posté par
milton
re : limite simple de projecteur 31-07-20 à 13:36

Merci beaucoup pour votre intervention.
peut etre  que je suis pas vraiment focus mais je n arrive toujours pas a en tirer que p(p(x))=p(x)

Posté par
carpediem
re : limite simple de projecteur 31-07-20 à 13:48

appliquant p_i à mon égalité on obtient donc p_i (x) = p_i  o  p_i (x_i) + p_i (z_i) \iff p_i(x) = p_i  o  p_i(x_i) = p_i (x_i)

puis on fait tendre i vers l'infini ...

Posté par
milton
re : limite simple de projecteur 31-07-20 à 14:29

merci beaucoup a vous deux.

Posté par
carpediem
re : limite simple de projecteur 31-07-20 à 14:53

de rien ... mais ce n'est pas encore fini ...

on va arriver à p(x) = p(\lim x_i)

or p est borné ... donc on devrait pouvoir montrer que \lim x_i = x

puis ensuite sachant que z_i = x - p_i(x_i) on devrait pouvoir arriver à montrer que pour tout x  : x = y + z avec y = p(x) et z dans le noyau de p et que cette somme est unique ...

en espérant ne pas dire de bêtise ...

Posté par
Foxdevil
re : limite simple de projecteur 31-07-20 à 16:11

On peut faire plus simple je pense. On a:

p(x) = \lim p_i(x) = \lim (p_i)^2 (x) = p^2 (x) ; où la dernière égalité se justifie par:

| (p_i)^2(x) - p^2(x) | =  | (p_i)^2(x) - p^2(x)  + p_i(p(x)) - p_i (p(x)) | 
 \\ 
 \\ \le | (p_i)^2(x) - p_i (p(x)) | +  |  p_i(p(x))  - p^2(x) | 
 \\ 
 \\ = | p_i (p_i(x) - p(x)) | +  |  (p_i - p)(p(x)) | 
 \\ 
 \\ \le ||p_i||*|p_i(x) - p(x)| + |  (p_i - p)(p(x)) |
 \\ 
 \\ \le M* |(p_i - p)(x)| + |  (p_i - p)(p(x)) | par B-S (M ne dépend pas de i).

ça tend bien vers 0 par convergence simple des p_i.

Posté par
carpediem
re : limite simple de projecteur 31-07-20 à 16:31

ha oui c'est beaucoup plus efficace et concis ...

Posté par
malou Webmaster
re : limite simple de projecteur 01-08-20 à 13:41

milton, bonjour
merci de compléter ton profil

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