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limite sinx/x

Posté par
Mickadoss
14-09-17 à 09:23

Bonjour,

Je sais qu'il existe pleins de démonstration sur cette limite mais je voulais savoir si quelqu'un connait une démonstration avec la définition formelle de la limite.

\forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0   tel  que ,   \forall x \in ] 0 ;   \eta [,    |\frac{sin(x)}{x}|<\epsilon

J'ai cherché mais n'ai pas trouvé voici des idées de départ :
Soit [tex] \epsilon > 0, on  pose  \eta = \frac{1}{\epsilon}

Soit  x \in ]0  ,  \eta[

on a donc 0 < x < \frac{1}{\epsilon}

0  <  sin x   <  sin (\frac{1}{\epsilon})  <  1
et
\epsilon < \frac{1}{x}
[\tex]

Là je bloque mais peut etre que je ne prend pas le bon epsilon.

Merci pour votre aide.

Posté par
etniopal
re : limite sinx/x 14-09-17 à 09:26

[tex] \epsilon > 0, on  pose  \eta = \frac{1}{\epsilon}

Soit  x \in ]0  ,  \eta[

on a donc 0 < x < \frac{1}{\epsilon}

0  <  sin x   <  sin (\frac{1}{\epsilon})  <  1
et
\epsilon < \frac{1}{x}
[\tex]

Posté par
etniopal
re : limite sinx/x 14-09-17 à 09:28

comme sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0  , tu n'arriveras pas à montrer qu'il tend aussi vers 0

Posté par
nadiasoeur123
re : limite sinx/x 15-09-17 à 12:39

Bonjour ;

Montrons que \lim_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{sin(x)}{x} = 1 .

Nous allons allons travailler dans ]0;\dfrac{pi}{2}[ . /tex]
 \\ 
 \\ [tex]\forall \epsilon > 0 ; \exists \nu_+ > 0 ; \forall x\in]0;\dfrac{pi}{2}[ : 0<x<\nu_+ \Rightarrow 0<1-\dfrac{sin(x)}{x}<\epsilon .

Posté par
nadiasoeur123
re : limite sinx/x 15-09-17 à 12:59

re-Bonjour ;

Je m'excuse : c'était une fausse manœuvre .

Montrons que \lim_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{sin(x)}{x} = 1 .

Nous allons travailler dans  ]0;\dfrac{\pi}{2}]

\forall \epsilon > 0 ; \exists \nu_+ > 0 ; \forall x\in]0;\dfrac{\pi}{2}] : 0<x<\nu_+ \Rightarrow 0<1-\dfrac{sin(x)}{x}<\epsilon .

0<1-\dfrac{sin(x)}{x}<\epsilon \Rightarrow 0<x-sin(x)<\epsilon x < \epsilon \nu_+ .

Soit f la fonction définie sur  ]0;\dfrac{\pi}{2}] par f(x) = x-sin(x).

L'étude de cette fonction donne : 0 < x - sin(x) \le \dfrac{\pi}{2}-1 = \dfrac{\pi - 2}{2}.

Il suffit d'avoir \dfrac{\pi - 2}{2} < \epsilon \nu_+ ,

donc il suffit d'avoir \nu_+ > \dfrac{\pi - 2}{2\epsilon} .

On peut prendre : \nu_+ = E(\dfrac{\pi - 2}{2\epsilon}) + 1 .

Pour montrer que \lim_{x\rightarrow 0^-} \dfrac{sin(x)}{x} = 1 on suit la même démarche

Posté par
lafol Moderateur
re : limite sinx/x 15-09-17 à 14:13

Bonjour

l'étude de cette fonction ? faite comment ? en utilisant la dérivée ? si oui, c'est une preuve qui se mord la queue : pour établir que sin' = cos et cos' = - sin, on utilise la fameuse limite ...

Posté par
DOMOREA
re : limite sinx/x 15-09-17 à 14:37

bonjour,
au voisinage de 0+
sin(x)<x<tan(x)  d'où xcos(x)<sin(x) et  donc cos(x)<sin(x)/x
comme sin(x)<x  sin(x)/x <1
en conclusion cos(x)<sin(x)/x<1 et on sait que lim cos(x)  =1  qd x tend vers 0

Posté par
lafol Moderateur
re : limite sinx/x 15-09-17 à 14:40

ce qui ne répond pas à la question d'origine (prouver en revenant à la définition de la limite)

Posté par
DOMOREA
re : limite sinx/x 15-09-17 à 14:59

alors en utilisant le DL de sin(x) en 0 et bricoler avec les \epsilon
De toute manière il faut bien partir d'un définition de sin(x)  , par exemple utiliser e^{ix}

Posté par
lafol Moderateur
re : limite sinx/x 15-09-17 à 15:01

c'est pareil que passer par la dérivée, utiliser le dl : comment on établit le dl sans passer par la limite ?
la question de comment est défini sin x est en effet pertinente, avant de se demander si on peut montrer que cette limite est 1 en passant par les epsilon et les alpha .... ce serait bien que Mickadoss passe dire dans quel contexte il se place ?

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 15-09-17 à 18:02

Il ne reste plus que la méthode géométrique mais ne correspond pas à  "la définition formelle de la limite" que souhaite Mickadoss .  
limite sinx/x
On obtient les inégalités suivantes: \cos x\leqslant \dfrac{\sin x}{x}\leqslant \dfrac{1}{\cos x}

Posté par
etniopal
re : limite sinx/x 15-09-17 à 18:32

Si on ne veut pas tourner en rond :
   une  définition de sin(x)  ( pour x dans et même dans )  est :  
sin(x) est la somme de la sdtg   (-1)n+2x2n+1/(2n+1)!  ( n )autrement dit la limite de la suite  n  x - x3/3! +........+ (-1)nx2n+1/(2n+1)!  
Pour rendre sin(x)/x - 1 petit il suffit de rendre   (x) := |x|²/3! +........+ |x|2n/(2n+1)! +.....  
Comme , pour x 0 ,  on a :  0 < (x) < x² exp(||x|) c'est assez facile .

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 15-09-17 à 18:59

On se mords la queue. Tant qu'on y est on étudie la fonction f(x)=x-\dfrac{x^3}{6}

Posté par
etniopal
re : limite sinx/x 15-09-17 à 19:20

Ni queue ni morsure !
La seule définition correcte  que je connaisse des applications cos et sin s'obtient à partir de la définition  de exp(z)  , pour z dans , comme étant
exp(z) : = n zn/n!  
On pose ensuite  cos(z) :=( exp(iz) + exp(-iz))/2 et sin(z)  :=( exp(iz) + exp(-iz))/2i
On en déduit les propriétés classiques .

Voir   , par exemple,  le livre de  J. Dieudonné  : Fondements de l'analyse moderne pages 200 , 2001 .

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 15-09-17 à 19:32

@etniopal,
Oui, mais \cos et \sin existent avant cette expression.  Là il n y a ni queue ni morsure mais œuf et poule.

Posté par
etniopal
re : limite sinx/x 15-09-17 à 19:50

cos et sin existent avant cette expression ?
Comment étaient elle définies ?  Proprement ?

Posté par
lafol Moderateur
re : limite sinx/x 15-09-17 à 22:11

il reste que si on définit sin et cos comme sommes de séries entières, donc comme limites, revenir aux epsilons et aux alpha pour avoir la limite de sinx / x = 1-x²/3 etc, c'est un peu étrange, non ?

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 15-09-17 à 23:37

etniopal @ 15-09-2017 à 19:50

cos et sin existent avant cette expression ?
Comment étaient elle définies ?  Proprement ?

Voir wiki Mais je pense sincèrement que tu as de meilleures sources.

Posté par
luzak
re : limite sinx/x 16-09-17 à 09:33

Bonjour Razes !
Quand tu écris

Citation :

On obtient les inégalités suivantes: \cos x\leqslant \dfrac{\sin x}{x}\leqslant \dfrac{1}{\cos x}

tu es obligé d'utiliser la notion de "longueur d'arc" et de géodésique pour pouvoir dire que la ligne droite est le plus court etc...
Bref cette inégalité était (à mon avis, mais il y a peut-être d'autres justifications) une escroquerie...

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 16-09-17 à 16:28

Bonjour luzak,

Pour ce qui est de l'escroquerie, la demonstration n'est pas de moi, voyons voir (utilisons la figure que j'avais poste):

Soit x\in [0,\frac{\pi}{2}]

Le cercle de rayon OA=1.
S_1=SurfaceTriangle(OCB)=\dfrac{1}{2}OC*CB=\dfrac{1}{2}\sin x\cos x

S_2=SurfacePortion(OAD)=\dfrac{1}{2}xOA^2=\dfrac{1}{2}x

S_3=SurfaceTriangle(OAD)=\dfrac{1}{2}OA*AD=\dfrac{1}{2}\tan x
 \\

Nous avons S_1<=S_2<=S_3

Il suffit de remplacer, on obtient:
\cos x <= \dfrac{\sin x}{x}<=\dfrac{1}{\cos x}

Alors luzak, où est l'escroquerie?

Posté par
nadiasoeur123
re : limite sinx/x 16-09-17 à 17:04

Bonjour ;

d'après tes calculs Razes tu obtiens :

\dfrac{1}{2} sin(x) cos(x) \le  \dfrac{1}{2} x \le \dfrac{1}{2} tan(x)

\Rightarrow  cos(x) \le  \dfrac{x}{sin(x)}  \le \dfrac{1}{cos(x)} .

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 16-09-17 à 17:39

nadiasoeur123 @ 16-09-2017 à 17:04

Bonjour ;

d'après tes calculs Razes tu obtiens :

\dfrac{1}{2} sin(x) cos(x) \le  \dfrac{1}{2} x \le \dfrac{1}{2} tan(x)

\Rightarrow  cos(x) \le  \dfrac{x}{sin(x)}  \le \dfrac{1}{cos(x)} .
Tu inverse tout.

Posté par
luzak
re : limite sinx/x 16-09-17 à 17:40

Il me semble que c'est SurfacePortion(OAB) plutôt que (OAD) mais c'est un détail...

Tu as déplacé le problème en mettant des aires à la place des longueurs mais es-tu certain que le calcul de l'aire du secteur (OAB) se justifie sans admettre que l'aire est proportionnelle à la mesure de l'angle ?  et cette mesure (en radians) demandant aussi un peu de trigonométrie !
Et aussi, je ne dis rien du "on voit que" pour l'inégalité des aires !

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 16-09-17 à 17:40

Même en l'état, c'est bon.

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 16-09-17 à 17:56

luzak @ 16-09-2017 à 17:40

Il me semble que c'est SurfacePortion(OAB) plutôt que (OAD) mais c'est un détail...

Tu as déplacé le problème en mettant des aires à la place des longueurs mais es-tu certain que le calcul de l'aire du secteur (OAB) se justifie sans admettre que l'aire est proportionnelle à la mesure de l'angle ?  et cette mesure (en radians) demandant aussi un peu de trigonométrie !
Et aussi, je ne dis rien du "on voit que" pour l'inégalité des aires !
Rebonjour luzak,

Effectivement c'est SurfacePortion(OAB), je l'ai d'ailleurs coloré.

On sait que l'aire de la portion est proportionnel à l'angle en radian. Sinon on doit discuter le x de \sin x. Ce point n'est pas du niveau licence. On ne va pas chipoter sur un faut  problème.

Par contre, je n'ai pas saisi le sens de dernière phrase.

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 16-09-17 à 17:57

"faux  problème"

Posté par
luzak
re : limite sinx/x 16-09-17 à 18:56

Dernier mot de ma part concernant cette chicane sans grand intérêt : la définition de la mesure en radians nécessite une définition correcte des lignes trigonométriques (en général venant de l'exponentielle complexe) et c'est la définition même de cette mesure qui donne la dérivée de la fonction usuelle sinus.

Posté par
Razes
re : limite sinx/x 16-09-17 à 20:29

luzak @ 16-09-2017 à 17:40

Tu as déplacé le problème en mettant des aires à la place des longueurs mais es-tu certain que le calcul de l'aire du secteur (OAB) se justifie sans admettre que l'aire est proportionnelle à la mesure de l'angle ?  et cette mesure (en radians) demandant aussi un peu de trigonométrie !
Et aussi, je ne dis rien du "on voit que" pour l'inégalité des aires !

Pour l'aire de  la portion, j'avais posé, à ma fille qui  est en première, la question "quelle est la surface de ce bout de camembert" elle a écrit:

\begin{matrix}\underline{Angle}&&\underline{Aire}\\2\pi & \rightarrow & \pi R^2 \\ x &\rightarrow & S\left (OAB\right )\end{matrix}\Rightarrow S\left (OAB\right )=\dfrac{xR^2}{2} Donc c'est du niveau lycée.
Pour le radian c'est acquis car elle a considéré 2\pi comme étant l'angle total. Je pense qu'en "Maths Sup" on n'utilise pas le degré ou le grade.

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