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limite somme suite

Posté par
Harierod
07-04-21 à 16:58

Bonjour !
J'ai un sujet de Colle qui a pour première question :

déterminer  la limite de (Un)n appartient aux entiers naturels avec pour tout  n appartient aux  entiers naturels non  nuls  Un=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+8kn}}


J'ai tenté de répondre à ce problème par encadrement

pour 1\leq k\leq n on a

\frac{1}{\sqrt{n^{2}+8n^{2}}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^{2}+8kn}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^{2}+8n}}

En sommant ces inégalités on trouve:

\frac{1}{\sqrt{n^{2}+8n^{2}}}\leq Sn\leq \frac{1}{\sqrt{n^{2}+8n}}

Et je me retrouve coincé ici... Quelqu'un aurait la bonne volonté de m'aider ?

Merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteur
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:02

Bonjour

C'était une bonne idée. En sommant les inégalités, tu trouves

\dfrac{{\red n}}{\sqrt{n^{2}+8n^{2}}}\leq Sn\leq \dfrac{{\red n}}{\sqrt{n^{2}+8n}}

et maintenant tu appelles les gendarmes!

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:12

et donc étant donné que les deux  fonctions encadrant Sn ont une limite qui vaut  1/3 pour n tend vers l'infini,  on peut  en conclure que la limite de Sn est 1/3 ?

Posté par
lafol Moderateur
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:12

Bonjour
les gendarmes ne vont pas dans la même gendarmerie, si ?
l'exercice ne venait-il pas après un cours sur les sommes de Riemann ?

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:15

lafol @ 07-04-2021 à 17:12

citation inutile, c'est écrit juste au dessus


Oui l'exercice venait après un cours sur les sommes de Riemann mais  je voulais m'essayer à la détermination de la limite en sommant des inégalités. Après pour ce qui en est par rapport aux sommes de Riemann je pense  que je vais passer plus de temps à trouver la limite...

Posté par
lafol Moderateur
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:16

oui mais là si tu calcules sérieusement tes limites, tu vois que tu n'as toujours pas démontré de convergence, puisque tu as 1/3 à gauche, mais 1 à droite ....

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:33

lafol @ 07-04-2021 à 17:16

oui mais là si tu calcules sérieusement tes limites, tu vois que tu n'as toujours pas démontré de convergence, puisque tu as 1/3 à gauche, mais 1 à droite ....


Vous avez raison ! Je m'y suis pris autrement :

Un=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+8kn}}}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{8k}{n}}}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{1+\frac{8k}{n}}}}

En  me basant sur le théorème de la somme de Riemann je chois b-a=1  et  a=0 donc on en déduit b=1.  Ainsi on aura f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}} donc f intégrable sur [0,1]

J'intègre ensuite : n\rightarrow+l'infini=\int_{0}^{1}{f(t)dt}=\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+t}}}=\left[2\sqrt{1+t}\right]pour 1 et 0 =2\sqrt{2}-2

et voilà ma limite trouvé.  Qu'en pensez vous ?

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:44

on n'est pas vraiment sur l'intervalle [0;1]

k varie de 1 à n

8k/n varie de ...  à ...?

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:45

ou alors tu prends

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+8x}}

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:46

8kn

matheuxmatou @ 07-04-2021 à 17:44

on n'est pas vraiment sur l'intervalle [0;1]

k varie de 1 à n

8k/n varie de ...  à ...?


8k/n  varie de 8/n à  8n/n donc 8 ?

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:50

matheuxmatou @ 07-04-2021 à 17:45

ou alors tu prends

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+8x}}


donc on peut dire que la fonction est intégrable sur [0,8] ?

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:50

si tu gardes ta fonction, oui c'est sur l'intervalle [0;8]

sinon, sur [0;1] faut prendre l'autre.

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:52

mais attention, si tu gardes ta fonction et que tu travailles sur [0;8], le pas de la subdivision n'est plus 1/n mais 8/n ...

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:53

le plus simple reste de prendre

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+8x}}

sur [0,1]

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:55

matheuxmatou @ 07-04-2021 à 17:50

si tu gardes ta fonction, oui c'est sur l'intervalle [0;8]

sinon, sur [0;1] faut prendre l'autre.


okay  donc en gardant ma fonction j'ai :

\int_{0}^{8}{\frac{1}{\sqrt{1+t}}dt}=\left[2\sqrt{1+t} \right]0et8 =2\sqrt{9}-2=4

Est-ce que cela convient ?

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 17:58

non !

d'ailleurs on sent le problème puisque tu avais montré que la limite, si elle existe, est entre 1/3 et 1

le pas de la subdivision n'est pas 1/n mais 8/n si tu choisis cette option...

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 18:01

U_n = \dfrac{1}{8} \; \dfrac{8}{n} \; \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{8k}{n}}}

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 18:02

donc Un tend vers

\dfrac{1}{8} \; \int_0^8 \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} dx

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 18:04

franchement vaut mieux prendre

U_n = \dfrac{1}{n} \; \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{1+8\;\dfrac{k}{n}}}

qui tend vers

\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+8x}} dx

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 07-04-21 à 18:05

matheuxmatou @ 07-04-2021 à 18:01

U_n = \dfrac{1}{8} \; \dfrac{8}{n} \; \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{8k}{n}}}


bon, reprenons.  Si je venais à  prendre f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+8x}} intégrable sur [0,1] je  retombe sur le  même résultat...

\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+8t}}}dt=[2\sqrt{1+8t}]1et0=2\sqrt{1+8}-2\sqrt{1}=4...

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 07-04-21 à 18:07

ta primitive est fausse !

vérifie en dérivant

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 08-04-21 à 08:17

matheuxmatou @ 07-04-2021 à 18:07

ta primitive est fausse !

vérifie en dérivant


Okay en m'y reprenant j'ai trouvé \int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+8t}}}dt=[\frac{2}{8}\sqrt{1+8t}]0et1=\frac{2}{8}*3-\frac{2}{8}=0.5

Voilà alors ma limite tant espérée...

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 08-04-21 à 10:26

oui

remarque : 2/8 = 1/4

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 08-04-21 à 10:30

matheuxmatou @ 08-04-2021 à 10:26

oui

remarque : 2/8 = 1/4


Super merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
Harierod
re : limite somme suite 08-04-21 à 10:31

Merci à tous pour votre aide ! Passez une belle journée

Posté par
matheuxmatou
re : limite somme suite 08-04-21 à 10:33

avec plaisir



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