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Limite suite

Posté par
Moutontondu 15-10-21 à 22:56

Bonjour j'ai un 2ème exercice ou je bloque,
Soit Un la suite définie par U0=10 et pour tout entier naturel n, U(n+1)= 1/3 foisUn+2

1) Démontrer que pour tout entier naturel n, 3<Un<10
2)  Étudier le sens de variation de la suite Un
3) On admet que la limite L de la suite Un appartient à l'intervalle [3;10] et verifie l'égalité L= 1/3 fois L+2
Calculer L

Merci de votre aide

Posté par
Zormuchere : Limite suite 15-10-21 à 23:02

Bonjour
tu bloques où ?

La première question est une simple récurrence
La deuxième consiste à calculer la différence  U_{n+1}-U_n
La troisième est une équation du premier degré à résoudre

Posté par
Moutontondure : Limite suite 15-10-21 à 23:16

Merci pour votre réponse mais je bloque à la récurrence, j'ai fais plusieurs recherche au brouillon mais je ne comprend pas.

Posté par
bernardo314re : Limite suite 15-10-21 à 23:44

Bonsoir,

je  te fais la majoration et tu feras l'autre sens ...
U0 = 10  donc est inférieur ou égal à  10 (initialisation), supposons que   Un =<  10  alors   Un+1= < 10/3 +2 = 16/3 < 10   cqfd

Posté par
Moutontondure : Limite suite 15-10-21 à 23:49

Merci beaucoup mais pourriez vous m'expliquer votre démarche?

Posté par
Zormuchere : Limite suite 16-10-21 à 05:27

Il suffit de composer l'inégalité U(n)<=10 avec la formule de U(n+1)

étape par étape, cela donne :

\begin{array}{rcl}U_n & \le & 10 \\[5pt] \frac{1}{3}U_n & \le & \frac{10}{3} \\[5pt] \frac13 U_n + 2 & \le & \frac{10}{3}+2\end{array}

Posté par
Moutontondure : Limite suite 16-10-21 à 11:01

Merci de votre réponse j'ai pu faire l'autre partie, cependant une question qui est:  Justifier que la suite Un converge.
Je ne sais pas comment faire

Posté par
bernardo314re : Limite suite 16-10-21 à 11:12

si tu as fait la question 2 un théorème de ton cours permet de conclure

Posté par
Moutontondure : Limite suite 16-10-21 à 11:24

C'est, SI Un est décroissante et minorée, alors elle converge vers le plus grand de ses minorant?

Posté par
bernardo314re : Limite suite 16-10-21 à 11:25

oui

Posté par
Moutontondure : Limite suite 16-10-21 à 11:26

Merci beaucoup pour votre aide


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