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Limite suite avec partie entière

Posté par Profil Ramanujan 07-09-23 à 16:05

Bonjour,
Un exercice classé 2 étoiles de difficulté sur 3.
Je bloque sur la 2).
Soit (u_n)_{n \in \N} une suite réelle de limite \ell \in \bar{\R}.
Etudier \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \lfloor u_n \rfloor dans chacun des cas suivants :
1) \ell = + \infty
2) \ell \in \R \backslash \Z
3) \ell \in \Z

1) On a \forall n \in \N \ \lfloor u_n \rfloor > u_n -1 \longrightarrow + \infty.
Ainsi : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \lfloor u_n \rfloor = + \infty}

Posté par
lionel52re : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 16:10

Hello, combien de temps as tu réfléchi au problème? c'est le genre d'exo qui se résout de tête en 30 secondes. Supposons que L = pi, il se passe quoi?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 17:05

J'ai réfléchi 5 min mais je ne vois pas l'idée.
Si \ell= \pi mais on ne connaît pas u_n...
J'ai essayé u_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n} du coup \lfloor u_n \rfloor =0 pour n assez grand mais ce n'est qu'un exemple.
Je ne vois pas dans le cas général comment faire.

Posté par
lionel52re : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 17:09

Connais tu la définition de limite?

Posté par
lionel52re : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 17:10

Si L = pi, ça veut dire quoi pour Un ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 17:34

\forall \varepsilon >0 \ \exists n_0 \in \N \ \forall n \geq n_0 \ u_n \in [\pi- \varepsilon, \pi + \varepsilon]

Si on prend \varepsilon < 0,1, il existe un n_0 \in \N \ \forall n \geq \n_0 \ \lfloor u_n \rfloor = \pi
Si \varepsilon \geq 0,1, je ne sais pas comment faire.

Sinon j'aurais écrit que u_n -1 < \lfloor u_n \rfloor \leq u_n
Par passage à la limite : \boxed{\ell-1 \leq \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \lfloor u_n \rfloor  \leq \ell}
Mais je ne vois pas comment conclure non plus.

Posté par
lionel52re : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 17:39

\boxed{\text{Arrête d'encadrer n'importe quoi c'est insupportable}}


Une suite qui tend vers pi ça fait

17 -5452 26 12 4 -3.25 0 3.6 3.4 2.7 3.2 3.1 3.17 3.11 3.12 3.15 3.14 3.145 ....

Bref ...

Posté par Profil Ramanujanre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 20:58

Ce que j'ai encadré me semble juste.

La partie entière de la suite qui tend vers pi va valoir la partie entière de pi à partir d'un certain rang.

Donc la limite sera partie entière de pi.

Je vais essayer de le démontrer avec les epsilons.

Posté par
verdurinre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 21:10

Bonsoir,
pour la dernière question (\ell\in\Z) je propose trois exemples :
a) u_n=1+2^{-n}
b) u_n=1-2^{-n}
c) u_n=1+(-2)^{-n}

Posté par Profil Ramanujanre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 21:41

Verdurin ok merci. Je ne vois rien se dessiner.
Pour a) u_n \longrightarrow 1 et \forall n \in \N \lfloor u_n \rfloor =1
Pour b) u_n \longrightarrow 1 et \forall n \in \N \lfloor u_n \rfloor =0
Pour c) u_n \longrightarrow 1 et \forall n \in \N \lfloor u_n \rfloor \in \{0,1,2 \}

Je bloque sur la question 2.
Je veux montrer que \lfloor u_n \rfloor \longrightarrow  \lfloor \ell \rfloor
Soit \varepsilon >0.
On doit montrer que : \exists n_0 \in \N \ \ \forall n \in \N \ n \geq n_0 \implies \lfloor u_n \rfloor \in [ \lfloor \ell \rfloor -\varepsilon, \lfloor \ell \rfloor+\varepsilon]

Hypothèse :
\exists n_1 \in \N \ \ \forall n \in \N \ n \geq n_1 \implies  u_n \in [\ell -\varepsilon,  \ell +\varepsilon]

Je n'arrive pas à faire le lien entre l'hypothèse et ce que je dois montrer.

Posté par
verdurinre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 21:57

On peut poser \ell=\lfloor \ell\rfloor +\mu avec \mu\in]0;1[.
On prend \varepsilon<\min(\mu\,,1-\mu) et on déroule car \min(\mu\,,1-\mu)>0 ( à démontrer).

Posté par
lionel52re : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 21:58

C'est de la folie comme tu as la tête dans le guidon

Si L = 2.0123  tu prends quoi comme epsilon???

Posté par Profil Ramanujanre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 23:22

Lionel52
On prend \varepsilon <0,0123

Verdurin
Merci beaucoup, très bien vu.
Un dessin permet d'éclairer ton indication.
Montrons que \varepsilon >0 .
Comme \ell \in \R \backslash \Z, on a \lfloor \ell \rfloor \leq \ell < \lfloor \ell \rfloor +1.
Donc : \mu=\ell -\lfloor \ell \rfloor  >0
Comme 0< \mu <1 alors 0 < 1- \mu <1.
Soit \varepsilon < \min \{\mu, 1- \mu \}.
Comme u_n \longrightarrow \ell, il existe n_0 \in \N tel que \forall n \geq n_0 \ u_n \in [\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon].
Donc \exists n_0 \in \N \ \forall n \geq n_0 \ \lfloor u_n \rfloor = \lfloor \ell \rfloor
Ce qui montre que : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \lfloor u_n \rfloor=\lfloor \ell \rfloor }

Limite suite avec partie entière

Posté par
verdurinre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 23:39


Comme \ell \in \R \backslash \Z, on a \lfloor \ell \rfloor {\color{red}<}\ell < \lfloor \ell \rfloor +1.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite suite avec partie entière 07-09-23 à 23:57

Oui merci erreur de frappe.
La 3 me semble difficile. Il n'y a pas de schéma qui se répète.

Pour la question 3, si je prends l'exemple a, on a u_n=1+2^{-n} \longrightarrow 1.
On a \lfloor u_0 \rfloor =2 puis \forall n \geq 1 \ \lfloor u_n \rfloor =1
Il semble que (\lfloor u_n \rfloor) converge vers \ell.

Si je prends l'exemple b, on a u_n=1-2^{-n} \longrightarrow 1.
On a \lfloor u_0 \rfloor =2 puis \forall n \geq 1 \ \lfloor u_n \rfloor =0
Il semble que (\lfloor u_n \rfloor) converge vers \ell-1.

Si je prends l'exemple c, on a u_n=1+(-2)^{-n} \longrightarrow 1.
On a \lfloor u_0 \rfloor =2 puis \forall n \geq 1 \ \lfloor u_{2n}\rfloor =1 et  \forall n \geq 1 \ \lfloor u_{2n+1}\rfloor =0 .
Il semble que (\lfloor u_n \rfloor) n'a pas de limite.

Posté par
lionel52re : Limite suite avec partie entière 08-09-23 à 09:49

Ben c'est juste qu'on peut pas conclure

Posté par Profil Ramanujanre : Limite suite avec partie entière 08-09-23 à 13:00

La réponse attendue à la question 3 c'est qu'on ne peut pas conclure ?
C'est étrange.

Posté par
Ulmierere : Limite suite avec partie entière 08-09-23 à 13:28

Pourquoi ce serait étrange ? Que voudrais-tu répondre d'autre ?

En bonus tu peux regarder ce qui se passe si (u_n) converge vers une limite réelle par valeurs supérieures ou inférieures si tu veux. La fonction partie entière est semi-continue supérieurement et continue à droite

Posté par Profil Ramanujanre : Limite suite avec partie entière 08-09-23 à 14:21

Ok merci.


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