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limite suite calcul integral

Posté par
aya4545 27-02-22 à 14:12

bonjour
Priere m orienter pour terminer cet exercice je suis coincé dans la derniere question
I_n=\int_{0}^{1}{\ln(x)^n}dx

1)  montrer que I_n est decroissante
2) montrer que : \forall n \in \N^* \quad I_{n+1}=e-(n+1)I_n
3) calculer I_1
4) en deduire I_2 \quad I_3 \quad I_4 \quad
5) montrer que : \forall n \in \N^* \quad I_n >0
6) en deduire  : \forall n \in \N^* \quad  (n+1) I_n \leq e
7) en deduire que I_n est convergente  et determiner sa limite
8)déterminer \lim _{n\to +\infty}{nI_n} et \lim _{n\to +\infty}{\frac{I_{n+1}}{I_n}

   et merci

Posté par
carpediemre : limite suite calcul integral 27-02-22 à 14:37

salut

il serait bien de nous donner quelques réponses cependant ...

en particulier la limite de 7/ ... mais peut-être aussi 3/ et 4/

les autres questions donnant la réponse ...

(n + 1) I_n \le e \iff nI_n + I_n \le e donne déjà une majoration connaissant la limite de I_n ...

reste éventuellement à minorer nI_n

de même en divisant la relation de 2/ par I_n on obtient peut-être quelque chose .... suivant la valeur de la limite de I_n ...

Posté par
lakere : limite suite calcul integral 27-02-22 à 14:39

Bonjour,

  Il y a quelque chose qui ne va pas :

Citation :
I_n=\int_{0}^{1}{\ln(x)^n}dx


Je pense que l'intervalle d'intégration est [1,e]

Posté par
carpediemre : limite suite calcul integral 27-02-22 à 14:40

enfin il y a contradiction entre la question 1/ et la définition de I_n

ln x est négatif sur l'intervalle ]0, 1] donc l'intégrale est positive ou négative suivant la parité de n ...

Posté par
aya4545re : limite suite calcul integral 27-02-22 à 14:57

je m excuse une faute fe frape :l'intervalle d'intégration est  [1,e]

Posté par
aya4545re : limite suite calcul integral 27-02-22 à 15:01

je m excuse une faute de frape :l'intervalle d'intégration est  [1,e]
I_n=\int_{1}^{e}{(\ln x)^n}dx

Posté par
carpediemre : limite suite calcul integral 27-02-22 à 15:06

et quelle est la limite alors ?

Posté par
aya4545re : limite suite calcul integral 27-02-22 à 15:26

a partir de 6) la limite de I_nc est 0

Posté par
carpediemre : limite suite calcul integral 27-02-22 à 15:45

de la relation I_{n + 1} + (n + 1)I_n = e et de la décroissance de la suite (I_n) on déduit que :

nI_n + I_n \le e  (voir 6/)
et
e \le nI_n + 2I_n

il suffit de passer à la limite dans ces deux inégalités ...

Posté par
aya4545re : limite suite calcul integral 27-02-22 à 16:03

merci carpediem j ai oublié d utiliser la montonie de (I_n)_{n\in\N}

Posté par
lakere : limite suite calcul integral 28-02-22 à 08:24

Bonjour,

8) Autre solution :
La relation de récurrence I_{n+1}=e-(n+1)I_n donne :

  nI_n=e-I_n-I_{n+1} et le résultat par passage à la limite.

mais aussi : \dfrac{I_n}{I_{n+1}}=\dfrac{e}{(n+1)I_{n+1}}-\dfrac{1}{n+1}

qui donne le second résultat par passage à la limite.


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