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Limite [valeur absolue]

Posté par
Mathes1 04-03-20 à 12:25

Bonjour à tous ;
J'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance ;
Soit f la fonction définie par
f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2}{|2-x²|}
1)Calculer les limites suivantes \lim_{x\to \sqrt 2\atop x>\sqrt 2 } f(x) ;;;\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x<\sqrt 2} f(x) ;;;\lim_{x\to +\infty} f(x);;
\lim_{x\to -\infty } f(x)
2) Est ce que la fonction f admet la limite en point x0=\sqrt 2
Merci beaucoup d'avance .

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 12:42

-pour éliminer la valeur absolue
J'ai étudié le signe de 2-x2
\lim_{x\to\sqrt 2 \atop x>\sqrt 2 } f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2 }{-(2-x²)}=\dfrac{x-\sqrt 2 }{-2+x²}
\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x<\sqrt 2} f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2 }{2-x²}
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2 }{-2+x²}
\lim_{x\to -\infty } f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2 }{-2+x²}

Limite [valeur absolue]

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 12:44

Bonjour, Pense quand même aux simplifications possibles
x²-2 est un a²-b²

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 12:46

Bonjour ;
S'il vous plaît est ce que j'ai des  erreurs pour l'élimination de valeur absolue ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 12:48

ça a l'air d'être bon.

sauf qu'à chaque fois ça n'est pas égal, ce sont les limites qui sont égales.

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 12:59

Merci beaucoup pour votre réponse
Alors;
\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x>\sqrt 2 } f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2}{(x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2 )}=\dfrac{1}{x+\sqrt 2 }=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt 2}{4}
\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x<\sqrt 2 } f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2 }{-x²+2}=\dfrac{x-\sqrt 2}{-(x²-2)}=-\dfrac{x-\sqrt 2 }{(x-\sqrt 2 )(x+\sqrt 2 }=-\dfrac{1}{x+\sqrt 2 }=-\dfrac{1}{2\sqrt 2}=-\dfrac{\sqrt 2 }{4}

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 13:14

Et pour les deux dernières ;
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2 }{x²-2 }=\dfrac{\sqrt 2}{4}
2) cette fonction n'admet pas la limite en x0=\sqrt 2 car ;
\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x>\sqrt 2 } f(x) \neq \lim_{x\to \sqrt 2\atop x<\sqrt 2} f(x)

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 14:31

la limite à l'infini est fausse.

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 17:20

Bonjour ;
\lim_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2}{x²-2}=\dfrac{1}{x+\sqrt 2}=0
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2}{x²-2}=\dfrac{1}{x+\sqrt 2}=0
Désolé j'ai pas fait attention.

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 20:08

Bonsoir ;
Est ce que j'ai fait des fautes ?

Posté par
ThierryPomare : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 20:11

Bonsoir,

Tu as fait de nombreuses erreurs...

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 20:24

Non c'est pas vrai , Monsieur Glapion estimé a dit que j'ai les fautes sur la limite en ±l'infini seulement
Est ce que c'est tous mes réponses sont fausses ?

Posté par
ThierryPomare : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 20:27

Exemple :

\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x>\sqrt 2 } f(x)=\dfrac{x-\sqrt 2}{(x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2 )}=\dfrac{1}{x+\sqrt 2 }=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt 2}{4}

C'est faux ! Je ne te parle pas nécessairement du résultat dont je me fiche complètement . C'est plutôt tout le reste...

Posté par
ThierryPomare : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 20:33

Voici une autre rédaction possible :

Pour tout réel x tel que x>\sqrt{2}, l'on a

f(x)=\dfrac{1}{x+\sqrt{2}}

de sorte que

\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x>\sqrt 2 } f(x)=\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x>\sqrt 2 } \dfrac{1}{x+\sqrt{2}}=\cdots

Vois-tu ?

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 20:35

J'ai oublié d'écrire "lim " au début de chaque fraction ?

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 20:41

\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x>\sqrt 2 } f(x)=\lim_{x\to \sqrt 2 \atop x>\sqrt 2 } \dfrac{1}{x+\sqrt{2}}=\cdots=\dfrac{\sqrt 2}{4}

Posté par
ThierryPomare : Limite [valeur absolue] 04-03-20 à 20:45

Du point de vue de la technique, je te suggère de concevoir un tableau du style proposé le 04-03-20 à 12:42, plus élaboré, comportant sur chaque intervalle l'expression simplifiée de la fonction f. Ainsi pourras-tu calculer plus simplement tes limites sans avoir à faire des répétitions inutiles, sources d'erreurs.

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 05-03-20 à 12:54

Bonjour ;
Autre méthode pour éliminer la valeur absolue ;
x>\sqrt{2}x2>2-x2<-22-x²<0
Alors |2-x²|=-(2-x²) on limite x tend vers 2 x>2
_on x<2 x2<2-x²>-2 2-x²>0
Alors |2-x²|=2-x² on limite x tend vers 2 avec  x<2

Posté par
Mathes1re : Limite [valeur absolue] 06-03-20 à 21:05

Bonsoir;
S'il vous plaît Est ce que mes limites sont faux vraiment ?
Et merci beaucoupn d'avance !

Posté par
alb12re : Limite [valeur absolue] 06-03-20 à 22:37

salut,
ThierryPoma t'a fait une suggestion...

\\ \left(\begin{array}{cccccccc} \\ x & -\infty  &   & -\sqrt{2} &   & \sqrt{2} &   & +\infty  \\ \\ f(x) & -\infty  & \frac{1}{x+\sqrt{2}} & \mathrm{||} & -\frac{1}{x+\sqrt{2}} & \mathrm{||} & \frac{1}{x+\sqrt{2}} & -\infty \\ \end{array}\right) \\


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