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Limite voisinage

Posté par Profil Ramanujan 21-09-18 à 15:56

Bonjour,

J'ai deux définitions sur les limites mais je ne comprends pas comment on passe d'une à l'autre. Par ailleurs, je ne comprends pas pourquoi on prend forcément des voisinage dans la définition des limites...

V(\omega) désigne l'ensemble des voisinages de \omega

Définition 1 :
Soit D une partie de \R et f : D \rightarrow \R, x_0 \in \bar{D} et l \in \bar{R}
La fonction f admet une limite en x_0 égale à l lorsque :

\forall V \in \mathscr{V}(l), \exists W \in V(x_0), \forall x \in D , x \in W \Rightarrow f(x) \in V

Définition 2 :
Soit f une fonction définie sur un domaine D et x_0 \in \bar{D}.
La fonction f admet une limite finie en x_0 égale à l lorsque :

\exists l \in \R, \forall \varepsilon >0, \exists W \in V(x_0), \forall x \in D , x \in W \Rightarrow |f(x)-l| \leq \epsilon

Cordialement.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 21-09-18 à 16:05

Et j'ai oublié comment on passe des ces définitions à celle-ci :

Définition 3 :
Soit f une fonction définie sur I et x_0 \in I

\forall \epsilon >0, \exists \eta \in \R^{+*}, \forall x \in I, |x-x_0| \leq \eta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| \leq \epsilon

Posté par
Poncarguesre : Limite voisinage 21-09-18 à 16:07

Parce que les intervalles centrés en x constitue un systeme fondamental de voisinages en x.
Autrement dit pour il suffit de verifier la propriété 1 pour uniquement une famille de voisinages: les intervalles, ce qui donne la propriété 2.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 22-09-18 à 04:09

J'ai rien compris, encore moins qu'au départ

Pourquoi on remplace \forall V \in V(l) par \exists l \in \R , \forall \epsilon >0 ?

Pourquoi en remplace : f(x) \in V par |f(x)-l| \leq \epsilon ?

Posté par
etniopalre : Limite voisinage 22-09-18 à 08:30

Ce que t'a dit Poncargues est ce qu'on dit lorqu'on a fait au moins une fois le raisonnement suivant :

On se donne donc 2  espaces métriques (E , d) , (E' , d')  A une  partie de E , a un point adhérent à A et f : A E .  L'ensemble des voisinages d'un point x de E ( resp. x ' de E ' ) sera noté F(x)  resp F '(x) ) .  

Soit P la proposition  f(x) b E' lorsque x tend vers a qui s'écrit : " W F '(b) , V F(a) tq f(VA) W .

Montrons que  si on a P , on a aussi
Q : r > 0 , s > 0 tq  d '(f(x) , b) r si x A et d(x,a) s .

      Soit donc r un réel > 0 . W := { y E ' |  d'(y,b) r }  ( qu'on peut noter BF(b,r) et appeler la boule fermée de centre b et de rayon r ) est un voisinage de b .
Il existe  donc V F(a) tel que f(VA) W .
Mais  il existe un s > 0 tel que  BF(a,s)   W .
Si tu regardes bien la preuve est établie .
------------------
  Essaie de te faire proprement la démonstration de la réciproque Q P .

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 22-09-18 à 13:29

Je comprends rien vous avez changé toutes les notations qui n'ont rien à voir avec celle de ma définition et c'est quoi ce f(V \cap A) \subset W ? C'est pas ce qu'il y a dans ma définition.

Posté par
verdurinre : Limite voisinage 22-09-18 à 14:26

Bonjour Ramanujan.
Il y a un problème avec ta définition 2
{\color{red}\exists l \in \R,} \forall \varepsilon >0, \exists W \in V(x_0), \forall x \in D , x \in W \Rightarrow |f(x)-l| \leq \epsilon
La partie en rouge ne devrait pas y figurer : l est une constante définie dans le texte introduisant la proposition.

Pour la suite, si \varepsilon >0 l'ensemble des y tels que |y-l|\leq\varepsilon est un voisinage de l.

Posté par
luzakre : Limite voisinage 22-09-18 à 14:31

Bonjour !
Ce n'est pas la première fois que tu rouspètes parce qu'on change tes notations !
Mais bon sang ! Il n'y a rien de sacré dans TES notations et, du moment que les nouvelles (sic) notations sont définies, tu peux faire l'effort élémentaire de les traduire ou de les utiliser.

Quant à f(V\cap A) je pense que tu sais ce que veut dire une intersection...

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 22-09-18 à 15:23

@Luzak

J'ai déjà beaucoup de mal à comprendre alors si vous changez les notations c'est mission impossible. Je vais mettre 1 heure à comprendre les nouvelles notations et c'est pas sûr que j'y arrive alors que j'aurais pu résoudre le problème.

@Verdurin
OK !


J'essaie alors de le montrer que la définition 1 est équivalente à la 2 :

\forall V \in \mathscr{V}(l), \exists W \in V(x_0), \forall x \in D , x \in W \Rightarrow f(x) \in V

Je transforme l'écriture d'un voisinage de l :

V(l) est un voisinage de l si il existe \varepsilon >0 tel que :
B(l,\varepsilon) \subset V(l)
Soit dans \R : \exists \varepsilon>0 :  ]l-\epsilon , l+\epsilon[  \subset V(l)

Or : ]l-\epsilon , l+\epsilon[  \subset ]l-\epsilon , l+\epsilon[
Donc I=]l-\epsilon , l+\epsilon[ est un voisinage de l.

Ainsi la définition devient :

\forall V \in \mathscr{V}(l), \exists W \in V(x_0), \forall x \in D   : x \in W \Rightarrow   : |f(x)-l| \leq \varepsilon

Mais je vois pas comment modifier le : \forall V \in \mathscr{V}(l)  ?

Dans la définition de voisinage c'est "il existe un epsilon >0" or dans la définition 2 on a "pour tout epsilon" je ne comprends pas

Posté par
Poncarguesre : Limite voisinage 22-09-18 à 15:34

Oh la la que de complications.
Tu prend un point x.
Tu sais que pour tout intervalle I centré en \ell il existe un intervalle J centré en x tel que J s'envoie dans I.

Tu peux prouver que pour tout voisinage V de \ell  tu peux trouver un voisinage W de x qui s'envoie dedans par f.

Ben tu prend un intervalle I contenu dans V (tout voisinage contient un intervalle) ca te donne un J qui s'envoie dans I et donc a fortiori dans  V.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 22-09-18 à 15:45

@Poncargues

Je comprends rien à ce que vous écrivez

Du coup, je pense pas que ma méthode soit une complication.

Posté par
Poncarguesre : Limite voisinage 22-09-18 à 15:46

Qu'est ce que tu ne peux pas comprendre la dedans? oO

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 22-09-18 à 19:28

Je comprends pas ce que vous écrivez c'est tout. Parfois, y a des remarques que vous faites je comprends pas. J'ai pas votre niveau.

J'en suis encore au point où je dois essayer d'appliquer et de comprendre des définitions.

Je mets une définition, un raisonnement, mais j'ai l'impression que vos remarques sont pas liées à mes questions ou pas directement.

Généralement, quand plusieurs intervenants répondent, y a qu'un seul que j'arrive à comprendre mais ça me suffit. Là j'ai rien compris sauf l'aide de Verdurin mais j'aboutis pas.

Posté par
verdurinre : Limite voisinage 22-09-18 à 20:34

Pour préciser la notion de voisinage.
V \in \mathcal{V}(l) signifie qu'il y a un ouvert contenant l inclus dans V.
On peut montrer que dans le cas de \R munie de sa topologie usuelle s'est équivalent à :
il existe \varepsilon strictement positif tel que \lvert y-\ell\rvert <\varepsilon\Rightarrow y\in V.

Et donc \forall x \in D , x \in W \Rightarrow f(x) \in V peut se traduire par \forall x \in D , x \in W \Rightarrow \lvert f(x) -\ell\rvert<\varepsilon

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 22-09-18 à 21:17

Y a un beug latex
On voit pas la fin.

C'est pas plutôt V qui est inclus dans un ouvert contenant l ?

Un voisinage de l est de la forme ]l - \varepsilon , l+ \varepsilon[ et si V appartient à ce voisinage alors V \subset ]l - \varepsilon , l+ \varepsilon

Mais toujours pas compris pouquoi on a \forall \varepsilon alors que dans la définition de voisinage c'est \exists \varepsilon

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 22-09-18 à 22:39

J'ai compris la partie après l'implication car  :

V \subset ] l - \varepsilon , l+ \varepsilon [ donc si f(x) \in V alors |f(x)-l|  < \varepsilon

Par contre je comprends pas pourquoi au début on remplace \forall V \in V(l) par \forall \varepsilon >0

Posté par
luzakre : Limite voisinage 22-09-18 à 23:01

Ramanujan @ 22-09-2018 à 21:17

...
C'est pas plutôt V qui est inclus dans un ouvert contenant l ?

Un voisinage de l est de la forme ]l - \varepsilon , l+ \varepsilon[ et si V appartient à ce voisinage alors V \subset ]l - \varepsilon , l+ \varepsilon

Non, il est exact que ]l - \varepsilon , l+ \varepsilon[ est un voisinage de \ell mais tout voisinage n'est pas de cette forme.
[\ell-2\varepsilon,+\infty[ (j'ai mis intentionnellement un crochet fermant à gauche) est AUSSI un voisinage de \ell et cet ensemble contient bien un intervalle centré en \ell.
...........................................................
Citation :

Par contre je comprends pas pourquoi au début on remplace \forall V \in V(l) par \forall \varepsilon >0

Quelqu'un te l'a déjà dit mais tu ne lis pas les réponses (sous prétexte qu'on n'utilise pas tes notations) : dans un espace métrique les boules de centre \ell forment un système fondamental de voisinages.
Ce qui veut dire que TOUT voisinage de \ell contient un ensemble de ce type

Posté par
verdurinre : Limite voisinage 22-09-18 à 23:37

Bonsoir luzak.
Je ne crois pas que Ramanujan sache ce qu'est un système fondamental de voisinages.

@Ramanujan

Citation :
C'est pas plutôt V qui est inclus dans un ouvert contenant l ?
Si on considère cette « définition » n'importe quel ensemble contenant l est un voisinage de l.
Il faut penser avant d'écrire.

Posté par
mousse42re : Limite voisinage 23-09-18 à 00:39

Bonsoir,

Voici une autre formulation :

V_{\varepsilon}:=\bigg\{y\in \mathbb{R},\quad  |y-\ell|<\varepsilon\bigg\}\in V(\ell)

Je rappelle que V(\ell) est l'ensemble des voisinages donc V(\ell) =\big\{V_{\varepsilon_1},V_{\varepsilon_2},\cdots\big\} \\
Donc \forall \varepsilon  donne \forall V_{\varepsilon}

|f(x)-\ell|<\varepsilon donne f(x)\in V_{\varepsilon}

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 23-09-18 à 00:55

@Luzak
Bien vu pour le contre-exemple !

Comme le dit Verdurin pas vu la définition d'un système fondamental de voisinage.
Je rappel je suis au niveau MPSI (des compléments sur la topologie qui n'est pas au programme en MPSI donc c'est pas poussé juste quelques notions).
Je n'ai aucun recul sur les notions de topologie, je suis déjà content de comprendre quelques trucs par-ci par là comme ouvert, fermé, adhérence, intérieur.
J'ai jamais compris un seul message d'Etnopial   C'est toujours trop compliqué. En plus il parle de boule fermée alors que dans mon cours pour les voisinage on parle de boule ouverte.

@Verdurin

C'est mieux ?

\mathcal{V}(l) = \{\varepsilon \in \R^{+*}, B(l,\varepsilon) \subset  \mathcal{V}(l) \}

Alors si V \in  \mathcal{V}(l) alors \exists \epsilon >0 , ]l-\epsilon, l+ \epsilon[ \subset V

Posté par
verdurinre : Limite voisinage 23-09-18 à 01:17

Ça c'est faux :

\mathcal{V}(l) = \{\varepsilon \in \R^{+*}, B(l,\varepsilon) \subset  \mathcal{V}(l) \}
Les voisinages de \ell sont des parties de \R, pas des éléments de \R.

Ça c'est juste :
si V \in\mathcal{V}(l) alors \exists \epsilon >0 , ]l-\epsilon, l+ \epsilon[ \subset V

C'est ce qui permet la transformation de \forall V \in \mathcal{V}(l)\cdots en \forall \varepsilon >0\cdots

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 23-09-18 à 01:41

mousse42 @ 23-09-2018 à 00:39

Bonsoir,

Voici une autre formulation :

V_{\varepsilon}:=\bigg\{y\in \mathbb{R},\quad  |y-\ell|<\varepsilon\bigg\}\in V(\ell)

Je rappelle que V(\ell) est l'ensemble des voisinages donc V(\ell) =\big\{V_{\varepsilon_1},V_{\varepsilon_2},\cdots\big\} \\
Donc \forall \varepsilon  donne \forall V_{\varepsilon}

|f(x)-\ell|<\varepsilon donne f(x)\in V_{\varepsilon}


Merci bien j'ai compris

Je vois enfin à quoi renvoie ce fameux epsilon : chaque epsilon correspond à un voisinage et tous les epsilon donnent l'ensemble des voisinage.

Et pour la réciproque ? Là vous êtes parti du \forall \varepsilon >0
Si on part de \forall V \in V(l)

Suffit de reprendre votre définition de V(l) en fonction des epsilon ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 23-09-18 à 01:42

Ok Verdurin merci pour la précision je comprends mieux

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 23-09-18 à 01:50

Par contre au niveau logique comment se passe la transformation :

  V \in\mathcal{V}(l)   \Rightarrow  \exists \epsilon >0 , ]l-\epsilon, l+ \epsilon[ \subset V

En :  \forall V \in \mathcal{V}(l)\cdots  \forall \varepsilon >0\cdots

Je vois pas trop quelle règle de logique vous utilisez ...

Posté par
mousse42re : Limite voisinage 23-09-18 à 10:20

Salut,

Je ne comprends pas trop ce que tu veux faire, sinon

en reprenant les mêmes notations :

\\ V_{\varepsilon}:=\bigg\{y\in \mathbb{R},\quad  |y-\ell|<\varepsilon\bigg\}=]\ell-\varepsilon, \ell +\varepsilon[


Ainsi |y-\ell|<\varepsilon \iff y\in]\ell-\varepsilon, \ell +\varepsilon[\iff y\in V_{\varepsilon}

en gros on dit exactement la même chose, mais de trois façons différentes.

on pourrait noter ceci :

\\ \forall \varepsilon>0 , \cdots \implies f(x)\in V_{\varepsilon} \\

et puisque tu travailles avec des ensembles autant noter ceci :

\\ \forall V_{\varepsilon}\in V(\ell) , \cdots \implies f(x)\in V_{\varepsilon} \\

et donc c'est plus nécessaire de faire apparaitre l'indice \varepsilon, on sait que V est un voisinage.

On a donc

\forall V\in V(\ell) , \cdots \implies f(x)\in V \\

Posté par Profil Ramanujanre : Limite voisinage 23-09-18 à 14:24

Je ne comprends pas d'où sort l'équivalence entre ces 2 propriétés :


\\ \forall \varepsilon>0 , \cdots \implies f(x)\in V_{\varepsilon} \\

\\ \forall V_{\varepsilon}\in V(\ell) , \cdots \implies f(x)\in V_{\varepsilon} \\


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