a) f(x) = x-4/racine carrée de x -2 , xo =4

f n'est pas définie en xo=4

f(x)=x-4/(rc(x) -2 );  rc() = racine carré;

      = (x-4)(rc(x)+2)/(rc(x)²-4); en multipliant le num et déno par
rc(x)+2;
      = (x-4)(rc(x)+2)/(|x|-4); car rc(x)²=|x|.
      =(x-4)(rc(x)+2)/(x-4);  car au voisinage de xo=4 x>0
      =rc(x)+2);

donc limf(x)=rc(4)+2=2+2=4 au voisinage de xo=4.

b) f(x) =(racine carrée de (x+2) -2)/x-2 , xo = 2
f(x)=(rc(x+2)-2)/(x-2);

f est définie en [-2,+oo[
f(x)=(rc(x+2)-2)/(x-2);
       = (rc(x+2)-2)(rc(x+2)+2)/(x-2)(rc(x+2)+2);
       = (|x+2|-4)/(x-2)(rc(x+2)+2);
       = (x+2-4)/(x-2)(rc(x+2)+2); car au voisinage de xo (2x+2) est
positif.
       =1/(rc(x+2)+2);

donc limf(x)=1/(rc(2+2)+2)=1/4  

c) x/racine carrée de (1+x puissance 2 - 1 ) , xo =0
f(x)=x/(rc(1+x²)-1)

Df=R*

f(x)=x(rc(1+x²)+1)/(rc(1+x²)-1)(rc(1+x²)+1)
      = x(rc(1+x²)+1)/((1+x²)-1)
      = x(rc(1+x²)+1)/x²
      = (rc(1+x²)+1)/x ; si x est différent de 0.
en xo=0 (rc(1+x²)+1)=2

donc limf(x)=+oo à droit de 0
                    =-oo à gauche de 0.


d) f(x) =(x racine carrée de x ) - 8 /4 - x , xo =4

f(x)=(xrc(x)-8)/(x-4)
      = ((x-4)rc(x)+4rc(x)-8)/(x-4)
      = rc(x)  +  4(rc(x)-2)/(x-4)

pour x>0 on a x-4=(rc(x)-2)(rc(x)+2); car a²-b²=(a-b)(a+b)

donc

f(x)=rc(x)  +  4(rc(x)-2)/((rc(x)-2)(rc(x)+2))
      =rc(x)  +  4/(rc(x)+2) ;

donc limf(x)=rc(4)+4/(rc(4)+2)
                    =2+4/4
                    =2+1
                    =3 au voisinage de xo=4

voila
je vous prie d'accépter mes rmerciements

Attention dans la réponse de watik, dans le d , il y a une erreur
de distraction à la première ligne. (signe inversé dans le dénominateur
de f(x))
-> la réponse correcte est lim(x->4) f(x) = -3
-----