soit x>0;

par définition de E(x) on a:

E(x)<=x<E(x)+1

E(x)<=x+1

donc x+E(x)<=2x+1
donc (x+E(x))/x<=(2x+1)/x     ; car x>0

d'autre part:

x>=E(x) donc x+E(x)>=2E(x)
donc f(x)>=2E(x)/x  ; x>0  et 1/x>=1/(E(x)+1)

donc f(x)>=2E(x)/(E(x)+1)

donc 2E(x)/(E(x)+1) <=f(x)<=(2x+1)/x

c'est suffisant pour montrer que limf(x)=2 en +oo.

en effet:
(2x+1)/x= 2 +1/x  
puisque lim(1/x)=0 en +oo alors lim(2x+1)/x)=2 en +oo.


on x<E(x)+1 donc x-1<E(x)
comme lim(x-1)=+oo en +oo donc limE(x)=+oo en +oo

d'autre part:

2E(x)/(E(x)+1) =(2(E(x)+1)-2)/(E(x)+1)
                            = 2 -2/(E(x)+1)

comme limE(x)=+oo en +oo donc lim(-2/(E(x)+1))=0 en +oo.

donc lim2E(x)/(E(x)+1) =2 en +oo

donc limf(x)=2 en +oo.

voila je vous remercie