vous pouvez m'aider?

Bonsoir,

lim(x->0) (cos x - 1)/x=0 (en utilisant la formule du nombre dérivée)

or (cosx-1)/Vx=Vx*(cos x - 1)/x)
et lim(x->0)(Vx)=0

Donc lim(x->0)(cos x - 1)/Vx=0.

A suivre...

En utilisant les développements limités (si connus en 1ère ?)

DL de cos(x): 1 - (x²/2)

-> lim(x->0+) [(cos(x) - 1)/V(x)] = lim(x->0+) [(1 - (x²/2) - 1))/V(x)]
= lim(x->0+) [-x²/V(x)] = lim(x->0+) [- x^(3/2)] = 0
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lim(x->0) [(cos(x) - 1)/x²] = lim(x->0) [(1 - (x²/2) - 1))/x²] = lim(x->0)
[(-x²/2))/x²] = - 1/2
-----
Sauf distraction.    

Bonjour J-P,

j'avais bien pensé aux développements limités mais malheureusement, ils ne
sont pas connus en 1ère ...
C'est tellement rapide avec les DL.

@+

Salut Victor,

Avec La règle du marquis de Lhospital aussi mais bon ...
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En plus long, on peut faire:


f(x) = cos(x) - 1 + x²/2

f '(x) = -sin(x)  + x
f ''(x) = -cos(x)
f ''(x) < 0 pour x dans ]-Pi/2 ; Pi/2[ -> f '(x) décroissante.
f '(-Pi/2) = 1 - (Pi/2) < 0
Des 2 lignes précédentes -> f '(x) < 0 pour  x dans ]-Pi/2 ; Pi/2[
et donc f(x) est décroissante.

f(Pi/2) = -1 + Pi²/8 > 0
et donc f(x) > 0 pour x dans ]-Pi/2 ; Pi/2[

cos(x) - 1 + x²/2 > 0 pour x dans ]-Pi/2 ; Pi/2[
1 - cos(x) < x²/2 pour x dans ]-Pi/2 ; Pi/2[

1 - cos(x) < x²/2
1 - cos(x) < x²/2


On recommence avec g(x) = cos(x) - 1 + x²/2 - x^4/24
...
et on montre que (je ne le fais pas).
x²/2 - x^4/24 < 1 - cos(x)

---
On a alors
x²/2 - x^4/24 < 1 - cos(x) <  x²/2
1/2 - x²/24 < (1 - cos(x))/x²< 1/2

et
lim(x->0) 1/2 - x²/24 < lim(x->0) (1 - cos(x))/x²< 1/2

1/2 < lim(x->0) (1 - cos(x))/x² < 1/2
lim(x->0) (1 - cos(x))/x² =  1/2
-----
Sauf distraction.
Je n'ai rien relu, comme d'habitude.  

Zut, il y a une erreur de signe, tant pis.  

Et non, il n'y a pas d'erreur de signe, on demandait
lim(x->0) [(1-cosx)/x²] et dans ma réponse du 27/04/2004 à 13:10, j'ai
calculé:  lim(x->0) [(cosx - 1)/x²] = -1/2

On a donc de suite  lim(x->0) [(1-cosx)/x²] = 1/2
et ceci colle avec ma réponse du 27/04/2004 à 14:37
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Quelle précision, J-P, dans les dates et dans les heures...
On dirait une enquête de police.

@+

Faut bien être rigoureux quelque part, je l'ai été dans le "copier
coller" des dates et heures.  

Pourquoi ne pas chercher la réponse à ce genre de limite avec votre
calculette, ou un PC.
Si la limite est pour x --> 0, prenez, x = 0,00001 et calculez la fonction,
vous aurez une tb valeur approchée de la limite.  Cela vous permettra
de vérifier votre réponse.
Attention à bien travailler en radians!

Bonjour ptironch,

pour avoir une idée de la réponse, cette méthode est valable mais pour
le démontrer, on ne peut pas se contenter d'une méthode expérimentale...

@+

Il y a des méthodes rapides, j'ai mentionné celle de Lhospital,
mais elle n'est pas enseignée en 1ère.

Par cette méthode:

lim (x->0 [(1-cosx)/x²] = lim(x->0) [sinx/2x] = lim(x->0) [cosx/2] =
1/2

Et voila, vive le Marquis.