Tout d'abord l'ensemble de définition de cette fonction
est...
]-oo;-1[u]1;+oo[
Par conséquent, la limite en 1 s'entend par limite à droite de 1
(ou 1+)
Or pour tout x>1, ln(x²-1)=ln(x-1)(x+1)=ln(x-1)+ln(x+1)
Donc f(x)=ln(x-1)/x + ln(x+1)/x
La limite de ln(x-1)/x pour x->1+ est la limite de ln(x-1) pour x->1+
soit -oo
La limite de ln(x+1)/x pour x->1+ est ln(2)
La somme des deux (possible !) donne votre limite égale à -oo
En +oo, le raisonnement est le même.
Je vous en fait une des deux, à vous de faire l'autre...
Toutes les limites ont lieu en +oo
Lim ln(x+1)/x=lim ln(x(1+1/x))/x=lim [ln(x)/x+ln(1+1/x))/x]
Or lim ln(x)/x=0 (voir votre cours)
et lim ln(1+1/x)=ln(1)=0 et lim 1/x=0 donne lim ln(1+1/x)/x=0
Finalement lim ln(1+x)/x=0
A vous de faire lim ln(x-1)/x, c'est la même chose...
Voila !