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limites
f est une fonction de R vers R et k appartient à R*+ et p appartient à N*
On suppose que x et y de R On a :
|f(x)-f(y)|≤k|x-y|^p
démontrez que f est continue sur R
On suppose dans cette question est p>1
démontrez que la fonction dérivée de f est une fonction qui font défaut sur R et concluez que f est une constante
trouve la solution de l'équation f(x)=0 sur R
bonjour
f est continue sur IR
soit xo un réel
on a qq soit x dans IR: 0<=|f(x)-f(xo)|≤k|x-xo|^p
tu fais tendre x vers xo alors k|x-xo|^p tend vers 0 et donc f(x) tends vers f(xo) cad limf(x)=f(xo) lors que x tend vers xo.
donc f est continue en xo
donc f est continue sur IR.
Directenment en utilisant la définition de la continuité:
soit e>0
prenons µ=(e/k)^(1/p) ; p étant non nul.
donc |x-xo|<µ ==> k|x-xo|^p < e ===> |f(x)-f(xo)|<e
on a donc montré que
(qq soit e>0)(Il existe µ=(e/k)^(1/p) ) tel que |x-xo|<µ ==> |f(x)-f(xo)|<e
donc f est continue en xo
donc f est continue sur IR
rmq: en fait f est uniformément continue sur IR.
Fonction dérivée de f:
p>1
soit xo un réel
|(f(x)-f(xo))/(x-xo)|<=k|x-xo^|^(p-1)
p-1>0 ==> lim(k|x-xo|^(p-1)=0 ==> lim( |(f(x)-f(xo))/(x-xo)|)=0
donc f'(xo)=0
on a montré que
qq soit xo dans IR: f'(xo)=0
donc f est constante si p>1
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voila
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