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limites

Posté par miss.emi (invité) 28-04-02 à 19:30

Soit la fonction f définie sur R \ { 5} par:
f(x)= (x carré + 10x + 25) / ( x- 5)

ON notera (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal duplan
(O; i; j )

1) a. CAlculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b. Déterminer les réels a, b et c vérifiant: pour tout x de Df, f(x)=
ax+b+ c/ ( x-5 ).

c. En déduire que (C) admet 2 asymptotes dont on donnera les équations.
Etudier la position relative de (C) par rapport a la droite (D) d'équation:
y=x+15

2) Montrer que le point I (5; 20) est centre de symétrie de (C).


MErci beaucoup d'avance a ceux qui voudront bien m'aider!!!

Posté par Jean (invité)re : limites 29-04-02 à 11:07

Salut! miss.emi,

1) a.
La fonction f(x) est définie x
- {5}

On va alors trouver les limites:
lorsque x 5 moins
lorsque x 5 plus
lorsque x +
lorsque x -

x 5 moins f(x)
100 / 0 - = -

x 5 plus f(x)
100 / 0 + = +

Donc La droite x=5 est une asymptote.

x +ou - f(x)
+ou-
La droite y = ax + b est une asymptote

Au voisinage de l'infini: f(x)=x {x^2(1 + 10/x + 25/x^2) /
(x(1-5/x))}
On trouve alors a=1 (a = lim (f(x)/x) pr x tend vers +ou- l'infini)
et b=0 (b = lim (f(x) - ax) pr x tend vers +ou- l'infini)

La droite y = x est une asymptote.

1) b.
En divisant les deux polynômes x^2+10x+25 et x-5 suivant les puissances
décroissantes de x on trouvera:
f(x)= x+15 + 100/(x-5)

Soit en identifiant a=1, b=15 et c=100.

1) c.
Asymptotes voir 1) a.
Position de (C) p/r à (D) d'équation y=x+15:
on a: f(x) - (x+15) = x+15 + 100/(x-5) - (x+15)
g(x) = f(x) - (x+15) = 100/(x-5)
Si g(x) 0 (C) est au dessus
de (D)
Si g(x) 0 (C) est au dessous
de (D)

On remarque bien que:
Pr x > 5, g(x) > 0 alors (C) est au dessus de (D)
Pr x < 5, g(x) < 0 alors (C) est au dessous de (D)
Pr x = 5 on a une discontinuité et lim de g(x) = lim de f(x) = +ou-


2)
Pr montrer que I(5;20) est un centre de symétrie il faut que:
Si A(a; (a^2+10a+25)/(a-5)) f(x) son symétrique
B(b,c) p/r à I(5;20) doit appartenir à f(x), en d'autres termes
les coordonnées de B doivent vérifier c = f(b)

Calcul de b et c:
5 = (a + b)/2 b = 10 - a
20 = [(a^2+10a+25)/(a-5) + c] /2
c = (-a^2+30a-225)/(a-5)

Montrons que B(b,c) f(x):
f(b) = f(10-a) = [(10-a)^2+10(10-a)+25] / [(10-a)-5] = ... = c (à toi
pr le vérifier)
Et ainsi I(5;20) est un centre de symétrie de (C).

Cordialement,

Posté par (invité)re : limites 29-04-02 à 11:12

et ben
y a pu qu'a recopier

Posté par Jean (invité)re : limites 29-04-02 à 11:24

Salut! miss.emi,
(C'est plus lisible)

1) a.
La fonction f(x) est définie
x - {5}

On va alors trouver les limites de f:
lorsque x 5-
lorsque x 5+
lorsque x +
lorsque x -

x 5 moins
f(x) 100 / 0 - = -

x 5 plus
f(x) 100 / 0 + = +

Donc La droite x=5 est une asymptote.

x +ou -
f(x) +ou-
La droite y = ax + b est une asymptote

Au voisinage de l'infini: f(x)=x {x^2(1 + 10/x + 25/x^2) / (x(1-5/x))}
On trouve alors a=1 (a = lim (f(x)/x) pr x tend vers +ou- l'infini)
et b=0 (b = lim (f(x) - ax) pr x tend vers +ou- l'infini)

La droite y = x est une asymptote.

1) b.
En divisant les deux polynômes x^2+10x+25 et x-5 suivant les puissances
décroissantes de x on trouvera:
f(x)= x+15 + 100/(x-5)

Soit en identifiant a=1, b=15 et c=100.

1) c.
Asymptotes voir 1) a.
Position de (C) p/r à (D) d'équation y=x+15:
on a: f(x) - (x+15) = x+15 + 100/(x-5) - (x+15)
g(x) = f(x) - (x+15) = 100/(x-5)
Si g(x) 0 (C) est au dessus de
(D)
Si g(x) 0 (C) est au dessous
de (D)

On remarque bien que:
Pr x > 5, g(x) > 0 alors (C) est au dessus de (D)
Pr x < 5, g(x) < 0 alors (C) est au dessous de (D)
Pr x = 5 on a une discontinuité et lim de g(x) = lim de f(x) = +ou-


2)
Pr montrer que I(5;20) est un centre de symétrie de (C) il faut que:

Si A(a; (a^2+10a+25)/(a-5)) f(x) son symétrique
B(b,c) p/r à I(5;20) doit appartenir à f(x), en d'autres termes
les coordonnées de B doivent vérifier c = f(b)


Calcul de b et c:
5 = (a + b)/2 b = 10 - a

20 = [(a^2+10a+25)/(a-5) + c] /2
c = (-a^2+30a-225)/(a-5)

Montrons que B(b,c) f(x):
f(b) = f(10-a) = [(10-a)^2+10(10-a)+25] / [(10-a)-5] = ... = c
(à toi pr le vérifier)

Et ainsi, I(5;20) est un centre de symétrie de (C).

Cordialement,

Posté par miss.emi (invité)re : limites 04-05-02 à 22:11

MErci beaucoup! C'est vraiment super sympa de ta part!!!!!!



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