Pour la limite en + :
f(x) = (ln x) / x² + e / x

et (ln x) / x² tend vers 0 (cette limite a du être donnée en cours).
e/x tend vers 0

D'où : en +, f(x) tend vers 0.


Pour la limite en 0 :
tu n'as pas de forme indéterminée :
lim 1/x² = +

Voilà quelques indications, bon courage ...

Rappel, sans entrer dans les détails, de la règle de Lhospital (probablement
pas enseignée en Terminale et donc à ne pas utiliser pour un devoir).

Si lim(x-> a) [f(x)/g(x)] est d'une des formes indéterminées 0/0
ou  (+/- oo) / (+/- oo), alors on a:
lim(x-> a) [f(x)/g(x)] =  lim(x-> a) [f '(x)/g'(x)] avec f '(x)
et g'(x) les dérivées premières de f(x) et g(x) par rapport
à la variable x.

Dans l'exercice:
lim(x -> oo) f(x) =  lim(x -> oo) [(lnx+xe)/x²] est de la forme indéterminée
oo/oo -> Application de la règle de Lhospital.
lim(x -> oo) f(x) =  lim(x -> oo) [((1/x) + e)/2x] =  lim(x -> oo) [(1/2x²)
+ (e/2x)] = 0
-----
Pour la limite en 0, seule la limite pour x -> 0+ (par valeurs positives)
peut être envisagée car ln(x) n'existe que pour x dans ]0 ;
oo[.

lim(x-> 0+) f(x) = (-oo)/(0+) = -oo
-----
Sauf distraction.

Et non la règle de l'Hospital c'est pas connue des lycéens.
Elle nous est enseignée en Deug.