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limites

Posté par
fanfan56 10-01-20 à 16:31

Bonsoir,

Décidément je me bats toujours avec les limites,
Déterminez le domaine et calculez les limites avec les valeurs indiquées.

f: x x+4 -(x² -x -2)/x²-x-6)

Dom f= ]-,-2[U]3,+[
Avec a= -2
= forme indéterminée 0/0

lim   (x+4-(x² -x -2)(x+4 +x² -x-2)/ (x² - x -6) (x+4+(x² -x -2)
-2

Posté par
littleguyre : limites 10-01-20 à 17:09

Bonjour,

Il s'agit bien de : f(x)=x+4-\dfrac{\sqrt{x^2-x-2}}{x^2-x-6}  ?

En -2 je ne vois pas de forme indéterminée....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:13

Bonjour,
Je pense qu'il s'agit de f(x)=\dfrac{x+4-\sqrt{x^2-x-2}}{x^2-x-6}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:15

Une petite quantité conjuguée devrait faire

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 17:17

euh  le x+4 est au numérateur avec la racine

[(2)+4 - ((-2)² -(-2) -2)]
___________________________________________
[(-2)²-(-2) -6]

= 2-4/6-6   = 0/0??

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:19

Bonjour
comme on peut le deviner par les calculs qui suivent
le nombre important de parenthèses obligatoires manquantes (il n'y a même pas le même nombre de "(" que de ")" !!) peut se deviner comme étant

f: x (x+4 -(x² -x -2))/(x²-x-6)

c'est à dire   \dfrac{x+4-\sqrt{x^2-x-2}}{x^2-x-6}

Posté par
littleguyre : limites 10-01-20 à 17:21

Ah d'accord.

Tu as essayé de multiplier haut et bas par la conjuguée du haut ?

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:23

bon, après la bagarre

et la quantité conjuguée étant justement "les calculs qui suivent" en question, et tout aussi mal écrits !
juste à les terminer (en écrivant correctement !!)

Posté par
littleguyre : limites 10-01-20 à 17:23

Un peu en retard suis-je....

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 17:23


J'avais pensé faire:[x+4 - (x² -x -2)][x+4 +(x² -x -2)]/ (x² -x -6)(x+4 + (x² -x -2)

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:27

[(x+4 - (x² -x -2))(x+4 +(x² -x -2))]/[(x² -x -6)(x+4 + (x² -x -2)]

plutôt ... (parenthèses obligatoires encore manquantes ...)

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:31

rah il en manque encore une :

[(x+4 - (x² -x -2))(x+4 +(x² -x -2))]/[(x² -x -6)(x+4 + (x² -x -2))]

faut dire que dans ce fatras avec les balises de couleur en plus ...
pour ce genre de formules on ne saurait que conseiller de les écrire en LaTeX !!!
(avec l'éditeur LaTeX bien entendu, pas "à la main" !!)

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 17:37

Désolée pour les parenthèses, j'essaie mais ce n'est pas évident

Ensuite, j'ai fais ceci:
lim  [(x²+8x +16) - (x² -x -2)]/[(x² -x -6)(x+4+(x² -x -2)]
-2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:45

C'est bon ; reste à simplifier le numérateur puis le factoriser.
x2-x-2 se factorise aussi.

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 17:47

\lim\rightarrow -2                           \\ \\ x² +8x +16 -x² +x+2/(x² -x -6)(x+4 + x² -x -2)


J'ai essayé avec latex mais pas très convainquant  comment on fait les fractions?

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:49

c'est plutôt x²-x-6 qu'il faudra factoriser ...

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 17:58

avec l'éditeur Latex !!

limites

dans l'éditeur
on clique sur le bouton \frac{a}{b} et on remplit
de même pour les racines carrées , on clique sur le bouton \sqrt{a} et on remplit
etc

limites

(les barres de boutons surgissent en passant la souris dessus)

on peut avantageusement remplacer \frac par \dfrac pour avoir des fractions avec la même taille que le reste

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 17:59

\lim \rightarrow -2 \\ \\ 9x+18 : (x-3)(x+2)(x²+2)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 10-01-20 à 18:02

Merci mathafou d'avoir corrigé mon erreur

@fanfan56,
Utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster est vraiment utile.

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 18:10

@fanfan56
Astuce. On installe Xcas sur son PC.
On tape sur la premiere ligne de commandes:
E:=(x+4-sqrt(x^2-x-2))/(x^2-x-6)
On recommence tant qu'on n'a pas obtenu l'affichage 2d convenable
Puis on tape sur la deuxieme ligne:
latex(E)
On obtient le code latex suivant \frac{(x+4-\sqrt{x^{2}-x-2})}{(x^{2}-x-6)}
On copie colle ce code entre les balises affichees en appuyant sur le bouton LTX (celui de gauche) en bas du message.
On change frac en dfrac.

\dfrac{(x+4-\sqrt{x^{2}-x-2})}{(x^{2}-x-6)}

Ensuite on peut taper
limite(E,x,-2)

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 18:22

et il faut mettre au départ les parenthèses obligatoires à la saisie, et c'est les mêmes que celles obligatoires quand on tape ici directement en texte

et ces parenthèses là sont inutiles en LaTeX ou au crayon sur papier !
on n'écrit pas

\dfrac{(x+4-\sqrt{x^{2}-x-2})}{(x^{2}-x-6)}

mais

\dfrac{x+4-\sqrt{x^{2}-x-2}}{x^{2}-x-6}

et alors qu'il y a un éditeur LaTeX directement sur l'ile ...

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 18:26

\lim \rightarrow -2 \\ \\ \frac{9(x+2)}{(x-3)(x²+2)}

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 18:44

Mais vous avez tout à fait raison Monsieur le premier ministre mathafou
Je rigole evidemment

@fanfan56
et donc la limite est ??

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 18:49

\dfrac{x+4-\sqrt{x^2-x-2}}{x^2-x-6} = \dfrac{\left(x+4-\sqrt{x^2-x-2}\right){\red\left(x+4+\sqrt{x^2-x-2}\right)}}{\left(x^2-x-6\right){\red\left(x+4+\sqrt{x^2-x-2}\right)}} =

\dfrac{\left(x+4)^2-\left(x^2-x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-3\right){\red\left(x+4+\sqrt{x^2-x-2}\right)}} = \dfrac{9x+18}{\left(x+2\right)\left(x-3\right){\red\left(x+4+\sqrt{x^2-x-2}\right)}} =

\dfrac{9}{\left(x-3\right){\red\left(x+4+\sqrt{x^2-x-2}\right)}}

ton x2 + 2 ne rime à rien du tout.

le facteur avec racine carrée du dénominateur reste tel quel et ne se simplifie pas du tout et ne disparait ps

la seule chose est que sa limite à ce facteur là quand x tend vers -2 sera une valeur numérique non nulle
c'est pour ça qu'on a fat tout ce travail

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 18:53

Astuce Xcas Acte 2
E:=(x+4-sqrt(x^2-x-2))/(x^2-x-6)
on selectionne à la souris la reponse en bleu
on fait menu Scolaire>Premiere>mult_conjugue
puis on selectionne le numerateur de la formule obtenue
puis Scolaire>simplifier>factoriser
puis on selectionne x^2-x-6 en bas puis Scolaire>factoriser
puis on enleve mentalement le facteur x+2 en haut et en bas
puis etc ...

en general les eleves sont scotches devant la manip ... qui ne plaira pas à tout le monde

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 18:55

@mathafou
un partout la balle au centre

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 10-01-20 à 18:55

alb12 Xcas est bien entendu utile dans la dernière partie de ton discours :

Citation :
Ensuite on peut taper
limite(E,x,-2)
(ça vérifiera les calculs vu que ça donne directement le résultat)
par contre utiliser Xcas comme éditeur de LaTeX, bof ...
ceci dit il permet aussi de vérifier le parenthésage d'une formule en texte brut

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 19:11

c'est interessant pour des grosses formules
ne pas oublier qu'on beneficie de la coloration syntaxique
les eleves en un mois d'utilisation (re)apprennent l'usage des parentheses
mais on devie de notre sujet.

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 21:21

lim-2
-9/20

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 21:24

oui

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 21:29

Avec a= -1, on obtient -3/4

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 21:32

oui f est continue en -1 la limite est donc f(-1)

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 21:37

Par contre, si a= 1, la limite n'existe pas.

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 21:42

oui car le domaine ne contient aucun intervalle du type ]1-k;1[ ou ]1;1+k[

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 22:08

pour a =3

lim3

\frac{3+4-\sqrt{{3²-3-6}}}{3²-3-6}


7-4/0  = 5/0 =   ou -

Posté par
alb12re : limites 10-01-20 à 22:12

distinguer 3 par valeurs inf et par valeurs sup

Posté par
fanfan56re : limites 10-01-20 à 22:21

merci alb12, je finirai demain, il me reste encore a= +

et a= -


Bonne nuit

Posté par
fanfan56re : limites 11-01-20 à 16:23

Bonjour,

Le dénominateur s'annule en 3 . Etudions le signe:
Dans tout voisinage de 3, f(x) est négative à droite et positive à gauche de 3  

d'où lim3- f = - et lim3+f = +

Dnc lim \frac{x+4-\sqrt{x²-x-2}}{x²-x-6}  n'existe pas.
3

limites

Posté par
fanfan56re : limites 11-01-20 à 16:24

négative à gauche et positive à droite

Posté par
alb12re : limites 11-01-20 à 19:20

la limite du numerateur est 5
la limite du denominateur est 0
le signe du denominateur est:

\\ \left(\begin{array}{cccccccc} \\ x & -\infty  &   & -2 &   & 3 &   & +\infty  \\ \\ x^{2}-x-6 & +\infty  & + & 0 & \red{-} & \red{0} & \red{+} & +\infty \\ \end{array}\right) \\

donc la limite de f en 3 par valeurs inf est moins l'infini (penser 5/0- mais ne pas l'ecrire)
et la limite de f en 3 par valeurs sup est plus l'infini (penser 5/0+ mais ne pas l'ecrire)

Posté par
fanfan56re : limites 11-01-20 à 19:54

Et pour a =+

Est-ce que f(x) est de la forme (+-)/+?

Posté par
alb12re : limites 11-01-20 à 21:05

oui donc forme indeterminee
factoriser x^2 dans la racine
factoriser x en haut
factoriser x^2 en bas
simplifier
conclure

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 11-01-20 à 21:14

même aucun travail supplémentaire car on a vu que pour tout x du domaine de définition

f(x) = \dfrac{9}{\left(x-3\right)\left(x+4+\sqrt{x^2-x-2}\right)}
qui n'est pas plus indéterminée quand x --> infini que quand x tend vers -2 ...

bref la levée de l'indétermination en +inf est déja faite !

Posté par
fanfan56re : limites 12-01-20 à 09:12

Pour a=-

Est-ce bien  de la forme( - +)/- ?

Posté par
alb12re : limites 12-01-20 à 09:33

non c'est (-inf-inf)/inf

Posté par
fanfan56re : limites 12-01-20 à 21:18

Ce qui donne -/

On utilise la règle du plus haut degré
lim -
\frac{x-\sqrt{x²}}{x²}    =0



Posté par
alb12re : limites 12-01-20 à 21:24

cette regle n'est pas valable ici car le numerataur n'est pas un polynome

Posté par
fanfan56re : limites 12-01-20 à 21:38

Je n'arrive plus à suivre, je sais que je suis prêt du but mais je suis au bord de l'abandon à moins qu'une petite idée me remette sur la voie.

Posté par
alb12re : limites 12-01-20 à 22:23

mathafou @ 11-01-2020 à 21:14

même aucun travail supplémentaire car on a vu que pour tout x du domaine de définition

f(x) = \dfrac{9}{\left(x-3\right)\left(x+4+\sqrt{x^2-x-2}\right)}
qui n'est pas plus indéterminée quand x --> infini que quand x tend vers -2 ...

bref la levée de l'indétermination en +inf est déja faite !

en plus l'infini cette expression est bien adaptee
en moins l'infini c'est moins net.
C'est pourquoi j'aurais travailler avec l'expression de depart.

\dfrac{x+4-\sqrt{x^2-x-2}}{x^2-x-6} =\dfrac{x+4-|x|\sqrt{1-\dfrac1x-\dfrac{2}{x^2}}}{x^2-x-6}

pour l'etude en moins (resp plus) l'infini on remplace |x| par -x (resp x)
puis factorisation par x en haut et en bas et simplification

Posté par
mathafou Moderateurre : limites 12-01-20 à 23:11

je répondais bien pour +infini
pas pour -infini


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