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Limites

Posté par
Samsco 04-09-20 à 16:25

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

On considère la fonction f définie sur [2~;~+\infty[ par :

f(x)=\dfrac{3x+\sin x}{x-1}

Montrer que , pour tout

x \geq 2 , |f(x)-3|\leq \dfrac{4}{x-1}
. En déduire la limite de f en +\infty

\forall  x \geq 2, \\ \\ -1 \leq \sin x \leq 1 \\ \\ \iff 3x-1\leq 3x+\sin x \leq 3x+1 \\ \\ \iff \dfrac{3x-1}{x-1} \leq f(x) \leq \dfrac{3x+1}{x-1} \\ \\ \iff 0 \leq f(x)-3 \leq \dfrac{2}{x-1} \\

Je ne sais plus quoi faire.

Posté par
matheux14re : Limites 04-09-20 à 16:31

Bonjour , f(x)-2= ??

Posté par
matheux14re : Limites 04-09-20 à 16:32

Oups f(x)-3=..

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 16:47

matheux14 @ 04-09-2020 à 16:32

Oups f(x)-3=(sin x+1)/(x-1)

Posté par
matheux14re : Limites 04-09-20 à 17:01

Faux !

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 18:34

f(x)-3=\dfrac{3x+\sin x}{x-1}-3=\dfrac{3x+\sin x-3(x-1)}{x-1}=\dfrac{3x+\sin x-3x+1}{x-1}=\dfrac{\sin x+1}{x-1}

Posté par
matheux14re : Limites 04-09-20 à 18:44

Samsco @ 04-09-2020 à 18:34

f(x)-3=\dfrac{3x+\sin x}{x-1}-3=\dfrac{3x+\sin x-3(x-1)}{x-1}=\dfrac{3x+\sin x-3x+{\red{3}}}{x-1}=\dfrac{\sin x+{\red{3}}}{x-1}

Posté par
matheux14re : Limites 04-09-20 à 18:46

Maintenant fais ce que tu fesais au départ ..

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 18:50

\forall  x \geq 2, \\ \\ -1 \leq \sin x \leq 1 \\ \\ \iff 3x-1\leq 3x+\sin x \leq 3x+1 \\ \\ \iff \dfrac{3x-1}{x-1} \leq f(x) \leq \dfrac{3x+1}{x-1} \\ \\ \iff {\red{\dfrac{2}{x-1}}} \leq f(x)-3 \leq \dfrac{{\red{4}}}{x-1} \\ \\ \iff \left|\dfrac{2}{x-1}\right| \leq |f(x)-3| \leq \left|\dfrac{4}{x-1}\right| \\ \\ \iff |f(x)-3| \leq \dfrac{4}{x-1} \\

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 18:55

\lim_{x \to +\infty}f(x)=3

Posté par
matheux14re : Limites 04-09-20 à 19:58

C'est bon !

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 19:59

Merci

Posté par
matheux14re : Limites 04-09-20 à 20:00

De rien

Posté par
malou Webmasterre : Limites 04-09-20 à 20:32

euh...y a des choses qui ne vont pas là dedans....

Samsco @ 04-09-2020 à 18:50

\forall x \geq 2, \\ \\ -1 \leq \sin x \leq 1 \\ \\ \iff 3x-1\leq 3x+\sin x \leq 3x+1 \\ \\ \iff \dfrac{3x-1}{x-1} \leq f(x) \leq \dfrac{3x+1}{x-1} \\ \\ {\red{\cancel{\iff }}}{\red{\dfrac{2}{x-1}}} \leq f(x)-3 \leq \dfrac{{\red{4}}}{x-1} \\ \\ \iff \left|\dfrac{2}{x-1}\right| \leq |f(x)-3| \leq \left|\dfrac{4}{x-1}\right| \\ \\ {\red{\cancel{\iff }}}|f(x)-3| \leq \dfrac{4}{x-1} \\

Posté par
Samscore : Limites 04-09-20 à 21:05

Et pourquoi on ne met pas d'équivalence à ces endroits là ?


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