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Posté par
Samsco 04-09-20 à 19:52

Bonjour j'ai besoin que vous vérifiez ce que j'ai fait svp.

Exercice :

Soit f : 1+\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x²}} avec n \in \mathbb{N^*}. Etudier suivant n \lim_{x\to +\infty}f_n(x)~,~\lim_{x \to +\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}

Réponses :

f_n(x)=1+\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x²}}=1+\dfrac{x^n}{x\sqrt{\dfrac{1}{x²}+1}}=1+\dfrac{x^{n-1}}{\sqrt{\dfrac{1}{x²}+1}} \\ \\ n \in \mathbb{N^*} \iff n \geq 1 \\ \iff n-1 \geq 0 \\ \\ \forall n=1~,\lim_{x \to +\infty}f_n(x)=\lim_{x \to +\infty}1+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x²}+1}}=2 \\ \\ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x²}}=0 \\ \\ \forall n \geq 2~,\lim_{x \to +\infty}f_n(x)=\lim_{x \to +\infty}1+\dfrac{x^{n-1}}{\sqrt{\dfrac{1}{x²}+1}}=+\infty \\ \\ \forall n=2~ , \lim_{x \to +\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x²}+1}}=1 \\ \forall n \geq 3~,\lim_{x \to +\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x}+\dfrac{x^{n-2}}{\sqrt{\dfrac{1}{x²}+1}}=+\infty

Posté par
carpediemre : Limites 05-09-20 à 00:56

salut

on peut remarquer que \dfrac {f_n(x)} x = \dfrac 1 x + f_{n - 1}(x) - 1

la limite de f_n(x)/x s'obtint donc immédiatement à partir de celle de f_n(x) vu que celle de 1/x - 1 est finie ...

Posté par
Samscore : Limites 05-09-20 à 08:44

Oui mais on devra toujours calculer la limite de fn-1(x) pour n=1 , n=2 et n ≥ 3  non?

Posté par
carpediemre : Limites 05-09-20 à 09:49

certes mais vu que ça a été fait à la question d'avant ...

Posté par
Samscore : Limites 05-09-20 à 10:14

carpediem @ 05-09-2020 à 09:49

certes mais vu que ça a été fait à la question d'avant ...


Sinon ce que j'ai fais , est-ce correct ?

Posté par
carpediemre : Limites 05-09-20 à 10:43

oui c'est bon ...

attention aux écritures \forall n = 2 ... écris simplement si n = 2 alors ...

Posté par
Samscore : Limites 05-09-20 à 14:25

Ah oui merci , pour l'interprétation je peux le faire seul. .

Posté par
carpediemre : Limites 05-09-20 à 14:56

de rien


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