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limites

Posté par
cheryl 04-02-24 à 17:25

Bonjour, svp j'aurai besoin de votre aide pour resoudre cet exercice:
Soit la fonction :
f(x)=\frac{1-\((cos 2x)^{n}}{x^{2}}

1/Démontrer que lorsque x tend vers 0:
\lim \frac{1-\cos 2x}{x^{2}}=2
2/En deduire par recurrence que pour tout n : et lorsque x tend vers 0:
limf(x)=2n
J'ai deja trouvé la premiere question mais je bloque dans la deuxieme.
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 04-02-24 à 17:40

Bonjour,

1-\((cos 2x)^{n} est de la forme 1-bn.
Sais-tu factoriser 1-bn par 1-b ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 04-02-24 à 17:42

Mon indication ne va pas car il est précisé "par récurrence".

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 04-02-24 à 17:52

Il s'agit de trouver la limite quand x tend vers 0 de \dfrac{1-\((cos 2x)^{n+1}}{x^{2}} en fonction de celle de \dfrac{1-\((cos 2x)^{n}}{x^{2}}.
Les numérateurs sont de la forme 1-Xn+1 et 1-Xn.
Essaye d'utiliser 1-Xn+1 = 1-Xn + Xn(1-X).

Posté par
carpediemre : limites 04-02-24 à 19:08

salut

j'aimerai bien voir la 1/ et ce qui est utilisé en terminale ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 04-02-24 à 19:12

Bonsoir carpediem,

La limite en 0 de \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} n'est plus au programme ?

Posté par
carpediemre : limites 04-02-24 à 19:14

ha non pardon c'est ok !!


une indication n'étant qu'une indication on peut y arriver directement en écrivant que :

\dfrac {1 - \cos^n (2x)} {x^2} = \dfrac {1 - \cos^n 2x}{1 - \cos 2x}\times \dfrac {1 - \cos 2x} {x^2}


mais je laisse Sylvieg poursuivre ...

Posté par
carpediemre : limites 04-02-24 à 19:15

Sylvieg : je ne sais pas/plus en terminale

mais on s'en tire avec \cos (2x) = 1 - 2 \sin^2 x et la limite de \dfrac {\sin x} x qui, elle, est connue depuis la première

Posté par
Sylvieg Moderateurre : limites 04-02-24 à 19:22

Oui pour 19h14, ça revient à ma première indication sans récurrence.


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