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limites

Posté par
smir 15-10-25 à 11:40

Bonjour,
Voici des limites

1) lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \quad (n \in \mathbb{N}^*)

2) lim_{x \to -\infty} x^n =+\infty & \text{si } n \text{ est pair} \\ et -\infty & \text{si } n \text{ est impair}

3) \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0^+ \quad (n \in \mathbb{N}^*)

4) \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} =

0^+ & \text{si } n \text{ est pair}

0^- & \text{si } n \text{ est pair}

5) \lim_{x \to a^-} \frac{1}{x - a} = -\infty \quad (a \in \mathbb{R})

6) \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x - a} = +\infty \quad (a \in \mathbb{R})

Je voudrais savoir est ce que les limites 5) et 6) sont des limites usuelles. une explication rigoureuse si possible.
MERCI

Posté par
candide2re : limites 15-10-25 à 13:04

Probablement avec ce que tu appelles rigueur, mais soit ...

x--> a-
signifie que x tend vers a, mais en restant plus petit que a.

Avec x--> a-, on a (x-a) qui tend vers 0 mais en restant négatif

et alors 1/(x-a) tend vers -oo puisque le dénominateur tend vers 0 mais reste négatif.

Donc lim_{x\to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty
****
Raisonnement analogue pour

x--> a+ qui signifie que x tend vers a, mais en restant plus grand que a.

Posté par
candide2re : limites 15-10-25 à 13:05

Lire dans mon message précédent :

Probablement pas avec ce que tu appelles rigueur, mais soit ...

Posté par
Zormuchere : limites 15-10-25 à 13:12

Ce sont les limites usuelles pour les fonctions homographiques (de la forme f(x)=(ax+b)/(cx+d))

Soit M < 0

Considérons la suite a(n) = a-1/n qui tend vers a par valeurs négatives (cas 5)
1/(a(n)-a) = 1/(-1/n) = -n, donc f(a(n)) tend vers -infini

Ainsi, il existe un entier N tel que f(a(N)) < M

De plus, f est décroissante sur ]-inf, a[. Alors pour tout x compris dans ]a(N), a[, on aura f(x) < f(a(N)) < M


En reprenant les éléments en gras, on a bien montré que la limite en a- est -infini :

\forall M<0, \quad\exists S\in ]-\infty, a[, \quad\forall x\in]S, a[, \quad f(x)<M

Posté par
carpediemre : limites 15-10-25 à 18:06

salut

oui

comment passe-t-on de la fonction  f : x \mapsto \dfrac 1 x  à la fonction  g : x \mapsto \dfrac 1 {x - a}  ?


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