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Niveau terminale
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limites "Arctan et racine nième "

Posté par
mrhax
24-10-17 à 23:22

salut ..
s'il vous plait je me bloque dans ces 3 limites .
Pouvez-vous m'aider
1 ) \lim_{x-> +inf}(\sqrt{1+x} -\sqrt[3]{x²+1})
2 ) \lim_{x -> 0+}\frac{arctan(\sqrt[3]{x})}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}
3 ) \lim_{x -> 1+}\frac{\sqrt[3]{x²-1}}{x-2\sqrt[3]{x}+1}

Merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites "Arctan et racine nième " 25-10-17 à 08:22

Bonjour,
Pour 1), factoriser sous chaque par le terme de plus haut degré :
1+x = x (1 + 1/x) et x2 + 1 = x2 ( 1 + 1/x2)

Sortir x et x2 des , ce qui donne x1/2 et x2/3 , puis factoriser par x2/3 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites "Arctan et racine nième " 25-10-17 à 08:27

Pour 3), c'est le bon énoncé ? Il n'y a pas de forme indéterminée.

Posté par
larrech
re : limites "Arctan et racine nième " 25-10-17 à 09:33

Bonjour,

Pour la 2), mettre x1/3 en facteur au dénominateur. On se retrouve alors à chercher la limite en 0 d'une expression de la forme  \dfrac{arctanu}{u}

@Sylvieg Bonjour, pour la 3) le 1 au dénominateur n'est pas sous le radical.

Tout ça me paraît un peu difficile pour des élèves de  Terminale

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites "Arctan et racine nième " 25-10-17 à 09:49

Bonjour larrech
Merci pour l'énoncé de 3).
Je suis d'accord pour la difficulté ; le arctan semble la marque d'un pays autre que la France.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites "Arctan et racine nième " 25-10-17 à 09:58

Pour 3), on peut transformer l'expression en utilisant X = \sqrt[3]{x} .
Ce qui revient à x = X^{3} .
Factoriser au maximum les polynômes qui apparaissent au numérateur et dénominateur.

Posté par
mrhax
re : limites "Arctan et racine nième " 25-10-17 à 23:29

Sylvieg @ 25-10-2017 à 09:49

Bonjour larrech  
Merci pour l'énoncé de 3).
Je suis d'accord pour la difficulté ; le arctan semble la marque d'un pays autre que la France.

Merci pour l'aide ça ma bien aider  ...
c'étais semblable à notre DS .
Et c'est le programme du terminal math -Fr - au Maroc .

Posté par
sam1
re : limites "Arctan et racine nième " 25-10-17 à 23:29

Bonsoir,

Pour la 1 . idée supplémentaire extraire 1+x de la racine.


Voici le détail:    \sqrt { 1+x } \quad -\sqrt [ 3 ]{ 1+{ x }^{ 2 } } ={ \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }-{ \left( \left( 1+x \right) \left( 1+x \right) -2x \right)  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\

{ =\left( 1+x \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }-{ \left( \left( 1+x \right) ^{ 2 }\left( 1-\frac { 2x }{ { \left( 1+x \right)  }^{ 2 } }  \right)  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\\


 =\left( 1+x \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 }  }-\left| 1+x \right| { ^{ \frac { 2 }{ 3 }  } }\left( 1-\frac { 2x }{ \left( 1+x \right) ^{ 2 } }  \right) { ^{ \frac { 1 }{ 3 }  } }

 x>0,


={ \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }\left[ \frac { { \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }{ { \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } } -\left( 1-\frac { 2x }{ \left( 1+x \right) ^{ 2 } }  \right) { ^{ \frac { 1 }{ 3 }  } } \right] 
 \\

 ={ \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }\left[ \frac { 1 }{ { \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 1 }{ 6 }  } } -\left( 1-\frac { 2x }{ \left( 1+x \right) ^{ 2 } }  \right) { ^{ \frac { 1 }{ 3 }  } } \right] bingo!

\lim _{ x\rightarrow \infty  } \sqrt { 1+x } \quad -\sqrt [ 3 ]{ 1+{ x }^{ 2 } } =\quad \lim _{ x\rightarrow \infty  } -{ \left( 1+x \right)  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }\quad =-\infty

crdlt

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites "Arctan et racine nième " 26-10-17 à 07:48

Bonjour,
Franchement, avec les termes de plus haut degré, comme indiqué dans la première réponse, c'est plus simple.
Que veut dire crdlt ?

Posté par
sam1
re : limites "Arctan et racine nième " 26-10-17 à 13:37

Bonjour, sylvieg

c est Cordialalement,

Posté par
sam1
re : limites "Arctan et racine nième " 26-10-17 à 13:38

Cordialement pas encore bien réveillé moi

Posté par
Khaireddine
re : limites "Arctan et racine nième " 12-11-20 à 17:50

Bonjour tout le monde. Qui peut me aider à déterminer cette limite svp.
lim quand x tend vers pi/2 - de:
(Arctan( Racine cubique de tan(x))-pi/2 ) le tout sur   x-pi/2
Et merci d'avance.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limites "Arctan et racine nième " 12-11-20 à 18:44

Bonjour Khaireddine,
Je vois que tu es nouveau, bienvenue sur l'
Poste ton exercice dans un nouveau sujet.
Auparavant, prends le temps de lire celui-ci :
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci (Clique sur ce lien).



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