Niveau Maths sup

limites avec developement limité

Posté par elkingcoolssss (invité) 11-01-05 à 19:36

si quelqu'un voulait bien calculer ces limites:
1/(x^(x-1)) en 1
(cos ax - cos a)/(exp(-ax²)-exp(-a)) en 1 a<>0()
(a^x-b^x)/x en 0
((1+x)^(lnx/x)-x)/(x²lnx) en 0 x>0
x ln²x x(sin(1/lnx)-sin(1/x+1)) en +

Ca serai bien gentil...

Posté par re : limites avec developement limité 11-01-05 à 20:27

Bonjour

Pour certainne pas besoin de dl :

$\frac{cos(ax)-cos(a)}{\exp(-ax^{2})-\exp(-a)}=\frac{cos(ax)-cos(a)}{x-1}\times\frac{x-1}{ \exp(-ax^{2})-\exp(-a)}$

On reconnait deux taux de variation

pareillement :
$a^{0}-b^{0}=1-1=0$
donc :
$\frac{a^{x}-b^{x}}{x}=\frac{a^{x}-b^{x}-(a^{0}-b^{0})}{x-0}$
nouveau taux de variation

Pour le reste tu peux essayer de te ramener a une limite en 0 pour utiliser un développement limité usuel ou sinon utilise la formule de taylor-young .

Jord

Posté par re : limites avec developement limité 11-01-05 à 20:38

Par contre la premiére il n'y a pas de forme indeterminée

En effet :
$\lim_{x\to 1} x^{x-1}=1^{0}=1$

(tu peux passer par la forme exponentielle pour le montrer car il est possible qu'on accepte pas que tu fasses ca sans vérifier que ta fonction est continue )

donc :
$\lim_{x\to 1} \frac{1}{x^{(x-1)}}=1$

jord

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