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limites avec ln

Posté par matyeu50 (invité) 05-03-05 à 15:27

bonjour, voila j'ai un petit problème avec un exercice que notre prof nous a donné je n'arrive pa a trouver la limite de (lnx)e(-x) quand x tend vers +inf Notre prof nous a dit d'utiliser la propriété :
lim (lnx)/x[sup][/sup]n =0
+inf

Posté par matyeu50 (invité)petite erreur 05-03-05 à 15:28

c'est lnx diviser par x puissance n

Posté par re limites avec ln 05-03-05 à 18:12

Bonjour matyeu50.
Voici une piste :
$\lim_{x\to\infty}ln(x)e^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x}(x.e^{-x})$ .
Il faut alors calculer $\lim_{x\to{+}\infty}(x.e^{-x})=\lim_{x\to{+}\infty}\frac{x}{e^x}$ .
Un théorème très connu est alors utilisé : le théorème de l'Hospital (ou règle de Bernoulli). On a:
$\lim_{x\to{+}\infty}\frac{x}{e^{x}}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x\to{+}\infty}\frac{(x)'}{(e^x)'}=\lim_{x\to{+}\infty}\frac{1}{e^x}=\frac{1}{+\infty}=0$ .
En rassemblant le tout, on a : $\lim_{x\to{+}\infty}ln(x)e^{-x}=0$ .
Voilà.

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