Niveau Maths sup

Limites d intégrales.

Posté par
Laurierie 25-01-06 à 17:00

Bonjour,je travaille sur un exercice mais un calcul de limite d'intégrale me pose problème.
Soit g:[1,+00[->R une fonction continue telle que g(x) tend vers 0 quand x tend vers +00. Montrer que $\int_x^{x+1} g(t)/t dt$ tend vers 0 quand x tend vers plus l'infini.

Voila pourriez vous m'aider car je n'y arrive pas? Merci beaucoup

Posté par ptitjean (invité)re : Limites d intégrales. 25-01-06 à 17:22

salut,

en utilisant la définition de la limite,

>0 >0
tel que pour t>, g(t)<

En prenant x>

$I=\int_x^{x+1} \frac{g(t)}{t} dt$
$I<\int_x^{x+1} \frac{\epsilon}{t} dt$
$I<\epsilon\int_x^{x+1} \frac{1}{t} dt$
$I<\epsilon.ln(1+\frac{1}{x})$
$ln(1+\frac{1}{x}) tend vers 0 pour x vers \infty$

Tu devrias pouvoir conclure...

Posté par re : Limites d intégrales. 25-01-06 à 19:28

Bonsoir ptitjean, et merci pour ta réponse. J'ai entre temps trouvé une autre facon de résoudre le probleme. D'apres le théoreme de la moyenne, il existe Cx appartenant à [x,x+1] tel que I= (x+1-x)g(Cx)/Cx. Or lim Cx=+00 quand x tend vers +00, et lim g(Cx)=0. Donc lim I=0 quand x tend vers +00. Voila

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