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Limites de Arctan

Posté par
Khola22
19-11-20 à 20:25

Bonjour!
J'essaie de montrer que : \lim_{x\rightarrow +oo} Arct(x) = \frac{\pi }{2}
Je souhaite savoir si j'ai le droit de dire que

si

Quand Arct pi/2
x +oo

alors \lim_{x\rightarrow +oo} Arct(x) = \pi /2

(Comme si je veux renverser la limite que j'avais

: \lim_{Arct(x) \rightarrow \pi /2- } x = +oo)

Posté par
Maru0
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 20:42

Bonjour,

Il faut utiliser plus (c'est n'est pas vrai pour toutes les fonctions).

En effet :

Quand \frac{1}{x} \to +\infty, on a x \to 0.

Mais si x \to 0, \frac{1}{x} ne converge pas.

Posté par
Khola22
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 21:03

Maru0
Bonjour !
Je n'ai aucune idée sur la convergence, donc je dois ajouter d'autres critères pour que ma conclusion soit valable, mais lequels ?

Posté par
Maru0
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 21:11

En fait ta conclusion est valable. C'est ton raisonnement qui ne l'est pas.
Du coup tu veux montrer quoi ?

Un truc hyper général du genre :
Sous quelles hypothèses a-t-on
[si f(x) \to a alors x \to b] IMPLIQUE [f(x) \underset{x \to b}{\longrightarrow} a] ?

ou juste l'exercice :
Arctan (x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{\pi}{2} ?

Posté par
Khola22
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 22:47

Maru0

Je vous montrerai toute ma procédure pour que cela soit clair :

On a \lim_{y\rightarrow \frac{\pi }{2}-} tan (y) = +oo

Et tan(y) = x \Leftrightarrow Arct(x) = y

Donc \lim_{Arct(x)\rightarrow \frac{\pi }{2}-} tan Arct(x) = +oo \Leftrightarrow\lim_{Arct(x)\rightarrow \frac{\pi }{2}-} x = +oo

Et c'est pour cela que j'ai demandé si c'est toujours valable de déduire ainsi.

Posté par
Maru0
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 23:01

C'est drôle, on retombe sur le même problème qu'il y a quelques jours :

Justifier l'existence des limites avant de les écrire.

L'exemple que je t'ai donné est précisément un cas où la limite n'existe pas, et qui montre que ton raisonnement ne fonctionne pas.
En fait c'est normal, on peut montrer que ce que tu veux écrire fonctionne si et seulement si la limite existe.

Donc :

i) justifie que Arctan admet une limite en +\infty

ii) Ecris rigoureusement ce que signifie ta notation :

\lim\limits_{Arctan x \to \frac{\pi}{2}^-} x

Parce que ce n'est pas une notation usuelle. Et même si elle est intuitive, elle me paraît plus efficace lorsqu'on l'écrit explicitement. Elle a trop d'ambigüités sinon

Posté par
Khola22
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 23:17

Oui, c'est implicite, comme Arct est la réciproque de tan.
Par ailleurs, on a que Arct est continue dans , est ce suffisant ?
Sinon, on a x de et y de ]-/2;/2[ : Arct(x) = y
On a y est supposé une constante, x une variable. Une constante admet toujours une limite en +oo, -oo ....

Posté par
Khola22
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 23:22

À propos de cette notation, je trouve que c'est clair :

\lim_{Arct(x)\rightarrow \frac{\pi }{2}-} x = +oo

\Leftrightarrow
 \\ 
 \\  Arct(x) \rightarrow \pi /2 \Rightarrow x\rightarrow +oo

Posté par
Khola22
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 23:30

Khola22 @ 19-11-2020 à 23:17

Oui, c'est implicite, comme Arct est la réciproque de tan.
Par ailleurs, on a que Arct est continue dans , est ce suffisant ?
Sinon, on a x de et y de ]-/2;/2[ : Arct(x) = y
On a y est supposé une constante, x une variable. Une constante admet toujours une limite en +oo, -oo ....


La continuité ne sert à rien, n'est ce pas ? Car cos est continue sur R mais n'admet pas de limite en +oo.

Posté par
Maru0
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 23:33

Donc ta notation \lim\limits_{f^{-1}(x) \to a} x = \alpha signifie \lim\limits_{y \to a} f(y) = \alpha  ?

Auquel cas \lim\limits_{Arctan(x) \to \frac{\pi}{2}^{-}} x = + \infty signifie \lim\limits_{y \to \frac{\pi}{2}^{-}} \tan(y) = + \infty

Mais ça s'est la première ligne de ton raisonnement. Donc je ne vois pas ce que ça t'apporte.

C'est pour ça que je t'ai demandé de l'écrire rigoureusement. Parce que sinon tu tournes en rond.

Et le problème d'écrire Arctan x \to \frac{\pi}{2} \Rightarrow x \to +\infty, c'est que c'est quoi x dans Arctan x ?




Pour dire que Arctan admet une limite en +\infty, la continuité n'est effectivement pas nécessaire.


Ensuite j'ai l'impression que tu écris "\forall x, \forall y, ... donc y constante".
Mais y n'a été posé nulle part. Donc c'est quoi y ?

Posté par
Khola22
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 23:50

Maru0

Citation :

Ensuite j'ai l'impression que tu écris " x, y, ... donc y constante".
Mais y n'a été posé nulle part. Donc c'est quoi y ?


C'est plutôt y, car chaque élément de R a une seule image, et en plus, j'ai besoin de fixer y pour aboutir à l'existence de la limite.

Citation :

Mais ça s'est la première ligne de ton raisonnement. Donc je ne vois pas ce que ça t'apporte.


Mais c'est pour cela que je me demande si je peux dire que : comme Arct tend vers pi/2 x tend vers +oo
alors x tend vers +oo Arct tend vers pi/2
D'une autre façon, si la double implication existe.

( si j'ai bien compris ce que vous vouliez me signaler ici :
Citation :
Et le problème d'écrire Arct(x) \rightarrow \pi /2 \Rightarrow x\rightarrow +oo
, c'est que c'est quoi x dans Arctan x ?
, je pense qu'on parle d'une fonction qui tend, non pas d'une image f(x) ou Arct(x) )

Posté par
Maru0
re : Limites de Arctan 19-11-20 à 23:58

Donc ce que tu veux écrire c'est :

\forall a, (\lim\limits_{x \to a} Arctan(x) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow a = +\infty)

ou toujours pas ?

En gros ta question initiale c'est : "est-ce que j'ai le droit d'écrire ..."
Où tu introduis une notation non usuelle, donc que je te demande de définir. Et comme elle peut être ambigüe je te demande de la définir avec rigueur.
Si je ne réponds pas à ta question, c'est que je n'ai toujours pas compris ce qu'est censé vouloir dire cette notation.

Et ça me paraît important, parce que c'est ce sur quoi se base la totalité de ton raisonnement.



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