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Limites de fonction 2

Posté par
leilaserad 30-10-21 à 10:48

Bonjour:
J'ai encore cette exercice à faire est-ce que vous pourriez m'aidez s'il vous plait

voici l'exercice :
Pour chacune des questions suivantes indiques si la proposition est vraie ou fausse et justifier votre choix.

1. lim (x+1 - x-1)=0
   x tend vers + l'infini

2. lim (x-5)/ (x2-4)= - l'infini
     x tend vers 2
     x >2

3. lim (x-2)/(x2 -5x +6 ) = + l'infini
  x tend vers 2

Posté par
malou Webmasterre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 10:52

Bonjour

pour la 1, transforme l'écriture de (x+1 - x-1) en le multipliant par sa quantité conjuguée (c'est à dire la même chose mais avec un + entre les 2 racines) et en divisant par cette même quantité conjuguée
ensuite tu simplifieras l'écriture du numérateur

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 10:53

Bonjour

Que proposez-vous ?

1 Quantité conjuguée

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:01


Oui alors pour le 1. J'ai mis ça :
lim (x+1 - x-1)=0
x tend vers + l'infini
= (x+1 - x-1) (x+1 + x-1 / x+1 + x-1
= (x+1) 2 - (x-1)2 / x+1 + x-1
= x+1-x+1/  x+1 + x-1
= 2/ x+1 + x-1

lim 2 = 2
x tend vers + l'infini
lim x+1 = + L'infini
lim x-1 = + l'infini

ce qui est en gras par somme sa fait + l'infini

et donc le quotient de ce qu'il y a en gras et de 2 ca fait 0

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:07

Oui, mais il ne faut pas oublier les parenthèses

\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\dfrac{(x+1-(x-1)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

Posté par
malou Webmasterre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:08

avec des parenthèses à ton dénominateur (et aussi à ton numérateur), oui c'est TB

pour 2 et 3
pense à faire un petit croquis du signe du dénominateur comme j'ai fait sur ton autre sujet
seule différence, là, ce sont des signes de polynômes du second degré au dénominateur

edit

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:11

Bonjour malou

Je vous laisse

Posté par
malou Webmasterre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:14

Bonjour hekla
là, je dois m'absenter...si tu veux prendre le relais, pas de souci

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:20

D'accord

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:22

D'accord merci
pour le 2. j'ai mis ça :
lim x-5/ x2-4
x tend vers 2
x>2
f(2) = -3/0
signe de x2-4
x2-4 = 0
delta = b2-4ac= 16 et x1= 2 et x2=-2

- l'infini                   -2                                    2                       + l'infini
x2-4                  -             +                 -


lim x-5 =-3
x tend vers 2
x>2

lim x2-4= 0 plus
x tend vers 2
x>2

par quotient ce qu'il y a en gras = lim f(x)= - l'infini
                                                                         x tend vers 2
                                                                          x>2

donc la proposition est aussi vraie

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:28

Heureusement que vous ne respectez pas le tableau de signes puisque vous avez écrit que x^2-4 était négatif pour les valeurs supérieures à 2


C'est utiliser l'artillerie lourde de prendre \Delta pour obtenir les racines
alors que l'usage d'une identité remarquable fait le travail plus rapidement  
N'oubliez pas les parenthèses  (x-5)/(x^2-4) \\

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:46

ah donc
lim x2-4= 0 moins puisque dans le tableau quand
x tend vers 2                                              c'est plus grand que 2 c'est négatif
x>2

mais c'est juste avec delta aussi non ?

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:47

est ce que le reste de ce que j'ai écris est juste ?

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:58

C'est bien parce que vous n'aviez pas tenu compte de ce que vous avez écrit dans le tableau que la réponse était correcte.
Limites de fonction 2

\lim_{\stackrel{x\to2}{x>2}}(x-5) =-3\qquad \lim_{\stackrel{x\to2}{x>2}}(x^-4)=0+ \qquad  \lim_{\stackrel{x\to2}{x>2}}\dfrac{(x-5)}{x^2-4}=-\infty \\

Oui, mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 11:59

Lire évidemment

\lim_{\stackrel{x\to2}{x>2}}(x^2-4)=0+

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 12:14

d'accord merci et ducout c'est tout ce qu'il faut faire pour le 2 ?

pour le 3 je ne sais pas comment faire est ce que vous pouvez m'aidez ?

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 12:21

Là, si vous voulez on peut utiliser \Delta afin de factoriser le dénominateur et étudier son signe. Ensuite le problème est le même,  mais au préalable on peut simplifier

Pour le 2, c'est bien ce que vous avez effectué je n'ai rien ajouté. C'est juste écrit autrement.

Vous n'avez pas perdu l'habitude d'écrire « du cout »  alors que c'est « du coup »

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 12:34

Pour le 3 donc il faut faire :
lim x2-5x+6
x tend vers 2
delta = b2-4ac= 1 avec x1=3 et x2=2

x                                                   2                                         3
x2-5x+6               +             -                  +


lim x2-5x+6=0
x tend vers 2

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 13:02

Que vaut alors f(x) ?  si l'on note f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-5x+6}

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 13:31

c'est égale a 0 ?

Posté par
malou Webmasterre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 13:35

de retour...

non quand tu as une limite à chercher, prends l'habitude tout de suite de chercher ce que ton quotient vaut au numérateur et au dénominateur

si tu obtiens une forme du type 0/0, c'est que tu dois simplifier ta fraction après factorisation
ce qui est le cas ici
tu essaies ...

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 14:22

il faut faire f(2) ca fait bien 0/0
et ensuite il faut factoriser puis simplifier :
ca donne : x(x/x-2/x)/x2(x2/x2-5x/x2+6/x2)
= (1-2/x)/x(1-5/x+6/x2)

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 14:25

Là vous confondez avec ce qui est fait lors d'une limite à l'infini

Vous avez f(x)=\dfrac{x-2}{(x-2)(x-3)}

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 14:28

ah d'accord et ensuite que faut-il faire ?

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 14:43

Simplifiez et cherchez la limite en 2

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 15:13

on peut le simplifier en 1/ (x-3)
lim 1/(x-3) =

lim x-3= -1                 x = 2
     x tend vers 2

x                                                                2
x-3                                           -                                          +

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 30-10-21 à 15:24

x\not=2 \quad f(x)=\dfrac{1}{x-3}

\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{x-3}=-1

\lim_{x\to 2}f(x)=-1

oui, quoique peu explicite

Posté par
malou Webmasterre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 15:39

je reviens sur ces deux dernières réponses

leilaserad @ 30-10-2021 à 15:13

on peut le simplifier en 1/ (x-3)
lim 1/(x-3) =

lim x-3= -1 x = 2
x tend vers 2
x 2
x-3 - +


ce tableau n'a pas de sens
quand x tend vers 2, x-3 tend vers -1 et c'est tout, et ne saurait en aucun cas changer de signe autour de 2

ensuite attention, pour avoir le droit de simplifier la fraction, on travaille obligatoirement sur l'ensemble de définition de départ
donc cela s'écrit
pour

x\in \textbf R-\{2 ; 3\}\;, f(x)=\dfrac {1}{x-3}

et ensuite on cherche effectivement la limite

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 15:40

ah d'accord merci et ducout c'est terminer pour le 3. ?

Posté par
malou Webmasterre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 15:41

du coup , oui c'est terminé

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 15:44

merci beaucoup de m'avoir aidé si j'ai d'autres questions en recopiant je reviendrai vers vous

Posté par
malou Webmasterre : Limites de fonction 2 30-10-21 à 15:52

pas de souci

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 03-11-21 à 14:55

Bonjour:
Je suis entrain de recopier mon dm et j'ai quelques questions la première c'est comment écrire autrement R privé de -3
et la deuxième c'est dans le 3; est ce que il faut écrire que ça ?
lim (x-2) / (x2-5x+6) = +L'infini
x tend vers 2
f(2)=0/0
f(x) = (x-2) / (x2-5x+6) en factorisant = (x-2)/(x-2)(x-3) = 1/ (x-3)
lim f(x)=1/(x-3) =-1
x tend vers 2
en conclusion , la proposition lim (x-2) / (x2-5x+6) = +L'infini                                                 x tend vers 2
est fausse

est ce que il ne faut pas rajouter autre chose ?

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 03-11-21 à 15:13

et j'ai aussi une autre question est ce que pour la lim (1+3/x)2 il faut faire lim de 1 2 ou lim 1 et est ce qu'il faut faire lim 3/x2 si oui ca vaut 0 ?

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 03-11-21 à 15:54

Bonjour

\R privé de -3 s'écrit \R\setminus\{-3\}

barre oblique arrière et ensemble entre accolades

3 si x=2 alors x-2=0 \ $ et $ x^2-5x+6=0

factorisons x^2-5x+6 nous trouvons (x-2)(x-3)

Il en résulte pour tout x \in\R \setminus \{2~;~3\}\ ;\  \dfrac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{1}{x-3}

\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{1}{x-3}=-1  La proposition est donc fausse.

15 :13 Dans quel cas avez-vous cela ?

\displaystyle \lim_{x\to 2} \left(1+\dfrac{3}{x}\right)=1 $d'où $ \lim_{x\to 2} \left(1+\dfrac{3}{x}\right)^2=1

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 03-11-21 à 19:30

enfaite par autre forme d'écriture de R privé de -3 je ne parlais pas de ça . Par exemple, pour R privé de -1 sa s'écrit aussi - l'infini , 1 union de 1 + l'infini

enfaite je dois trouver lim en + l'infini et - l'infini de 1+2x/x(1+3/x)2 et donc je dois savoir  la lim de (1+3/x)2

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 03-11-21 à 20:11

\R\setminus \{-3\}=]-\infty~;~-3[\cup]-3~;~+\infty[

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)=1 car \lim_{x\to +\infty }\dfrac{3}{x}=0

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^2=1

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1+2x}{x\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^2}\right)}=

idem en - \infty

Posté par
leilaseradre : Limites de fonction 2 03-11-21 à 20:12

d'accord merci beaucoup

Posté par
heklare : Limites de fonction 2 03-11-21 à 20:26

La limite précédente est 2 n'est-ce pas ?

De rien


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