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limites de fonctions

Posté par
prigogine
05-04-22 à 10:04

Bonjour,

Je me permets de poster ici car j'aurais voulu vous demander votre avis sur la manière que j'ai de résoudre un exercice.

Soit la fonction f(x) = 4x + ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] )

L'exercice consiste à calculer la limite à gauche et à droite de f(x) quand x tend vers 0

lim quand x tend vers 0 de 4x + ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = lim quand x tend vers 0 de 4x + lim quand x tend vers 0 de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = 0 + lim quand x tend vers 0 de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = lim quand x tend vers 0 de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] )

On constate que les termes sin²(x) et  x[1 - cos(x)] tendent tous les deux vers 0 lorsque x tend vers 0.

Je pose tel que 0 < x = < 1

je pose que sin²() > (1 - cos() 1 - cos²() > (1 - cos() 1 > - . cos() + cos²() = - [ cos() ( + cos()]

Il est donc évident que x[1 -  cos(x)] tend plus rapidement vers 0 lorsque x tend vers 0

Donc, lim quand x tend vers 0 de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) =

On détermine ensuite facilement que

lim quand x tend vers 0+ de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = +

lim quand x tend vers 0- de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = -

Merci de m'avoir lu,

Cordialement,

Posté par
ty59847
re : limites de fonctions 05-04-22 à 10:56

On constate que les termes ...
Ok, jusque là , ça me va.

Je pose \varepsilon tel que ... : je ne comprends pas cette ligne. Si tu la lis à voix haute, ça donne quoi ?
Je comprends encore moins les 4 ou 5 lignes qui suivent.

Par exemple, tu dis : je pose que sin^2(\varepsilon) > \varepsilon (1-cos(\varepsilon) )
Soit ce résultat est vrai, connu, c'est un résultat de cours, et dans ce cas, tu ne poses rien du tout, tu dis que c'est un résultat de cours.
Soit c'est un truc que tu calcules.. et dans ce cas, tu peux dire : Cherchons le signe de sin^2(\varepsilon) - \varepsilon (1-cos(\varepsilon) )

La conclusion finale est correcte, mais les arguments pour arriver à cette conclusion, je ne les ai pas compris.
En gros, tu as cherché à arnaquer le lecteur, et le lecteur, il n'aime pas ça du tout.

Posté par
prigogine
re : limites de fonctions 05-04-22 à 11:14

Grand dieu, non je ne cherche à arnaquer personne, le lecteur est un peu trop méfiant je crois

C'est plutôt que mon argumentation n'est apparemment pas claire, voire erronée (ce qui est la même chose me dira-t-on peut-être).

En fait, à partir de  "on constate que les termes..." j'essaie juste de démontrer que  sin²(x) "tend moins rapidement" vers 0 que x[1 - cos(x)], et que donc  sin²(x) / x[1 - cos(x)] va tendre vers l'infini lorsque x va tendre vers 0 ...

après, en y réfléchissant rapidement, ça me paraît évident intuitivement, mais je n'ai pas de façon de le démontrer qui me vienne directement...

Posté par
ty59847
re : limites de fonctions 05-04-22 à 11:35

tu peux remarquer que (1-cos(x)) * (1+cos(x)) = ...
Et du coup, remplacer (1-cos(x)) par ...

Et tout se simplifie d'un coup.

Tu as introduit un epsilon ;   mais  sauf faute de frappe, cet epsilon semble égal à x.
Du coup, pourquoi introduire cet epsilon, si c'est juste un changement de notation ?

Posté par
prigogine
re : limites de fonctions 05-04-22 à 11:54

Ah oui, en effet !

on obtient 1 - cos(x) = sin²(x) / 1 + cos(x)

donc sin²(x) / x[1 - cos(x)] = 1 + cos(x) / x

Donc lim quand x tend vers 0 de sin²(x) / x[1 - cos(x)] = lim quand x tend vers 0 de 1 + cos(x) / x =

Fantastique ! Merci !

Oui, en effet, maintenant que tu le pointes, ce que j'ai écris n'a pas beaucoup de sens haha

Encore merci !

Posté par
ty59847
re : limites de fonctions 05-04-22 à 12:00

Avec les précautions d'usage quand même. On ne peut simplifier et supprimer sin²x du numérateur et du dénominateur que si ce terme est non nul.

Posté par
prigogine
re : limites de fonctions 05-04-22 à 12:15

(Désolé pour les deux posts qui se suivent)

Mais alors, concernant la manière dont j'ai tenté de résoudre l'exercice, aurait-il été plus juste d'écrire :

Soit la fonction f(x) = 4x + ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] )

L'exercice consiste à calculer la limite à gauche et à droite de f(x) quand x tend vers 0

lim quand x tend vers 0 de 4x + ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = lim quand x tend vers 0 de 4x + lim quand x tend vers 0 de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = 0 + lim quand x tend vers 0 de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = lim quand x tend vers 0 de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] )

On constate que les termes sin²(x) et  x[1 - cos(x)] tendent tous les deux vers 0 lorsque x tend vers 0.

A partir d'ici, on cherche à démontrer que  x[1 - cos(x)] tend plus rapidement vers 0 que sin²(x)

On pose 0 < x < 1

On pose que sin²(x) > x[1 - cos(x)] 1 - cos²() > x[1 - cos(x)] 1 > x - x . cos(x) + cos²(x) =  x -  cos(x) [ x + cos(x)]

Il est donc évident que x[1 -  cos(x)] tend plus rapidement vers 0 lorsque x tend vers 0

Donc, lim quand x tend vers 0 de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) =

On détermine ensuite facilement que

lim quand x tend vers 0+ de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = +

lim quand x tend vers 0- de ( sin²(x) / x[1 - cos(x)] ) = -

(Merci à nouveau de m'avoir lu)

Posté par
ty59847
re : limites de fonctions 05-04-22 à 14:28

Tu dis lim f(x) = lim(4x) + lim( ...)
Oui, mais dans la rédaction, il faut toujours être prudent

lim ( g(x)+h(x) ) = lim(g(x)) + lim(h(x))  : c'est vrai, si on a bien vérifié l'existence des 2 trucs qu'on introduit : lim(g(x)) et lim(h(x))
Là, tu ne dis pas pourquoi tu as le droit d'écrire ça.
Mais admettons, la suite me perturbe plus.

La ligne qui commence par   On pose que sin²x ...

Je ne sais pas lire une ligne aussi longue que ça.
Je ne sais pas s'il faut lire :
On pose que : blabla1 entraine blabla2
ou bien on pose que blabla1 , et du coup, blabla2

Je pense que tu vois par quoi il faut remplacer blabla1 et blabla2 pour retrouver ta phrase.

C'est très bien de mettre des mots 'en français' pour faire les transitions, mais il en faut encore plus.

Posté par
prigogine
re : limites de fonctions 06-04-22 à 13:18

D'accord. Merci beaucoup pour tes réponses et tes éclaircissement !



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