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Limites de fonctions

Posté par
louis222 15-01-24 à 13:11

Bonjour,

J'aimerais de l'aide pour deux questions
Déterminer les limites de ces fonctions
H(x) = e^2x-xe^x+1

Ce que j'ai fait : lim (e^2x-xe^x+1) après je suis bloqué

K(x)=x^4-2xe^x+e^2

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:14

Bonjour,
Limite pour x\to +\infty ?

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:19

Bonjour,
Je ne comprends pas votre question mais oui lim x = plus infini

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:21

Pour H, tu peux mettre e^{2x} en facteur et regarder ce qui se passe dans la parenthèse.

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:28

H(x)=e^2x (1-(xe^x)/(e^2x) + (e^2)/(e^2x)

Je détermine la limite de chaque terme ?

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:31

Oui mais tu as des erreurs et il faut simplifier :

H(x)=e^{2x}\left(1-\dfrac{x}{e^x}+\dfrac{1}{e^{2x}}\right)

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:36

Cela me parait simple mais je ne vois pas comment simplifier ?

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:38

Je l'ai fait pour toi !
Si tu n'est pas convaincu, tu peux redévelopper.
En tout état de cause, ton cours doit te dire que \dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:44

Il faut déterminer les limites de chaque terme dans l'expression simplifié ?

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:45

Oui. Pour le premier (une constante) et le troisième, pas de problèmes.
Pour le second, tu dois te rapprocher d'une limite connue de ton cours.

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 13:52

Merci ! J'ai trouvé lim h(x)=+ infini

Pour k(x) il faut aussi simplifier ?

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:00

Citation :
J'ai trouvé lim h(x)=+ infini


C'est correct mais il y a tout de même quelques détails à mentionner :
\lim\limits_{x\to +\infty}1=1

\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{e^x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}=0 car ton cours te dit que \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{e^{2x}}=0

Donc la parenthèse tend vers 1 et comme \lim\limits_{x\to +\infty}e^{2x}=+\infty, par produit, \lim\limits_{x\to +\infty}H(x)=+\infty

Pour K(x), tu as écrit ceci :

  
Citation :
K(x)=x^4-2xe^x+e^2


J'ai vaguement l'impression qu'il y a une erreur. ?

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:04

Merci pour ces détails.

Pour le k(x) je ne vois pas des erreurs ?

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:07

e^2 est une constante ce qui m'étonne un petit peu.
Ce ne serait pas e^{2{\red x}} ?

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:08

Je viens de vérifier et non il n'y pas de 2x

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:13

Alors il suffitde mettre e^x en facteur.
A mon tour de poser des questions :

en principe, figure dans ton cours la limite : \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

cette autre limite y figure-t-elle aussi : \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty (avec n entier naturel) ?

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:20

Bonjour louis222,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:27

J'ai factorisé e^x ((x^4)/(e^x)-2x+(e^2)/(e^x)

Et j'ai trouvé plus infini

Posté par
louis222re : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:28

Bonjour, je vais essayer de modifier mon niveau

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:37

Dans la parenthèse, le premier et le troisième terme tendent vers 0

Mais le second (-2x) tend vers {\red -}\infty
Donc par produit :

  \lim\limits_{x\to +\infty}K(x)={\red -}\infty

Posté par
lakere : Limites de fonctions 15-01-24 à 14:59

Un petit complément relatif à la question pas tout à fait innocente :

Citation :
en principe, figure dans ton cours la limite : \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

cette autre limite y figure-t-elle aussi : \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty (avec n entier naturel) ?


Si on ne connaît pas, (avec n=4 pour ton exercice), on écrit :

\dfrac{e^x}{x^4}=\left(\dfrac{e^{\frac{x}{4}}}{x}\right)^4=\dfrac{1}{4^4}\,\left(\dfrac{e^{\frac{x}{4}}}{\frac{x}{4}}\right)^4

et on conclut \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^4}=+\infty avec la limite du cours \lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{e^X}{X}=+\infty

Adaptable pour tout n entier naturel.


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