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limites de fonctions exponentielle et logarithme

Posté par GothGal (invité) 13-12-04 à 21:05

Bonsoir, Voila je n'arrive pas à démontrer 6 limites... Une indication , un début de réponse, une aide seront les bienvenues car je ne vois pas comment les résoudre...Les voici :

\lim_{x\to \0} f(x)=x e^{\frac{1}{x^2}}

\lim_{x\to +\infty} f(x)=ln(x)e^{x}

\lim_{x\to \0} f(x)=(xlnx+xe^{\frac{1}{x}})

\lim_{x\to \0} f(x)=\frac{e^{sin(x)}-1}{x}

\lim_{x\to \0} f(x)=\frac{sin(ln(x+1))}{x}

\lim_{x\to \0} f(x)=\frac{(ln(x))^2+2ln(x)+2}{(ln(x))^3+4}

Merci d'avance


Posté par
Nightmarere : limites de fonctions exponentielle et logarithme 13-12-04 à 21:27

Bonjour

Pour la premiére , si c'est bien :

\lim_{x\to 0} x\times\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}}} il n'y a aucune forme indeterminée , il suffit de remplacer x par 0 et ca devrait tendre vers 0

\lim_{x\to +\infty} \mathrm{ln}(x)\mathrm{e}^{x}

La encore aucune forme indeterminée :
\lim_{x\to +\infty} \mathrm{ln}(x)=+\infty
\lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^{x}=+\infty

donc :
\lim_{x\to +\infty} \mathrm{ln}(x)\mathrm{e}^{x}=+\infty

\lim_{x\to 0} xln(x)+xe^{\frac{1}{x}}
Celui la je le trouve assez marrant à faire ( je doit être fou )

En effet , si on pose le changement de variable :
u=\frac{1}{x}\Longleftrightarrow x=\frac{1}{u}

Nous revenons a la limite :
\lim_{u\to +\infty} \frac{ln\(\frac{1}{u}\)}{u}+\frac{e^{u}}{u}
c'est a dire :
\lim_{u\to +\infty} -\frac{ln(u)}{u}+\frac{e^{u}}{u}

En appliquant les limites relatives aux croissances comparées , a savoir :
lim_{t\to +\infty} \frac{ln(t)}{t}=0 et \lim_{t\to +\infty} \frac{e^{t}}{t}=+\infty

On en conclut facilement :
\lim_{u\to +\infty} -\frac{ln(u)}{u}+\frac{e^{u}}{u}=+\infty

Bon , pour le reste juste des pistes :
4) penser a un taux de variatons
5) a vrai dire je cherche encore je te mets au courant si je trouve
6) je pense qu'il parait évident de poser le changement de variable ln(x)=u


Jord

Posté par
Nightmarere : limites de fonctions exponentielle et logarithme 13-12-04 à 21:34

Euh oui en fait le 5) c'est la même chose que le 4) à savoir un taux de variation

Au passages je rappelle ce qu'est le taux de variations :

si f est dérivable en a , alors :
\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)


Jord

Posté par GothGal (invité)re : limites de fonctions exponentielle et logarithme 13-12-04 à 21:38

J'aime bien le (je dois être fou) ^^ j'aimerais être folle comme vous pour réussir calculer les limites commes vous, cependant, je vous remercie pour votre aide,je comprends mieux en voyant vos explications, oui pour le 4) et 5) je pensais aussi au taux de variation! merci encore et toujours pour votre aide (très précieuse!) et longue vie à ce forum qui "sauve des têtes" ^^ et nous tire de nos incompréhensions!

Posté par
Nightmarere : limites de fonctions exponentielle et logarithme 13-12-04 à 21:45

Lol , merci pour tout ces remerciement et encouragement


Jord

Posté par (invité)re : limites de fonctions exponentielle et logarithme 15-12-04 à 21:24

Pour les 4 et 5 il faut utiliser le taux de variation mais on remarque que pour le 4) la fonction n'est pas définie en 0, comment faire?

Posté par
Nightmarere : limites de fonctions exponentielle et logarithme 15-12-04 à 21:32

Eh bien heureusement qu'elle n'est pas définie en 0 sinon le calcul de limite n'aurait plus aucune utilitée , ca serait juste un calcul d'image

f(x)=\frac{e^{sin(x)}-1}{x}=\frac{e^{sin(x)}-e^{sin(0)}}{x-0}

D'ou en posant g(x)=e^{sin(x)} que :
f(x)=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}

Donc :
\lim_{x\to 0} f(x)=g'(0)

Or , g'(x)=cos(x)e^{sin(x)}
=>
g'(0)=1

d'ou :
\lim_{x\to 0} f(x)=1


Jord

Posté par GothGal (invité)re : limites de fonctions exponentielle et logarithme 15-12-04 à 21:35

Oulala oui désolée mais je manque un peu de tonus je crois...Vivement les vacances en tout cas merci car j'ai enfin compris le changement de variable! MErci encore!

Posté par
Nightmarere : limites de fonctions exponentielle et logarithme 15-12-04 à 21:41

Pas de probléme

n'hésite pas à demander si tu as besoin d'un complément d'information


Jord


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