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limites de l'exponentielle

Posté par
toshine 30-12-18 à 17:51

Bonjour / bonsoir
Calculez la limite de f en plus l'infinis
f(x)=(exp(sqrt(x+1))-exp(sqrt(x)))^1/sqrt(x)  
Sqrt = la racine carrée
Si je reussi a ecrire
(e(x+1)-ex)1/x

Posté par
malou Webmasterre : limites de l'exponentielle 30-12-18 à 17:57

je mettrais volontiers e^{\sqrt x}} en facteur dans la parenthèse
....

Posté par
toshinere : limites de l'exponentielle 30-12-18 à 18:48

J'ai oublié qu'il faut prouve que limf(x)=e

Posté par
malou Webmasterre : limites de l'exponentielle 30-12-18 à 18:49

oui, ça j'avais trouvé !
allez, fais ce que je t'ai conseillé à 17h57 !

Posté par
toshinere : limites de l'exponentielle 30-12-18 à 20:21

Je ne pense pas que je t'ai compris mais j'ai cherché la formule tu(t)e(et-1)/t   t0 et après beaucoup des equations je l'ai resolu  ..  si vous avez une methode plus simple  ...  

Posté par
lakere : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 11:24

Bonjour à tous,

  Comme malou l'a indiqué, la factorisation de e^{\sqrt{x}} permet de faire apparaître \text{e} en sorte que:

  f(x)=\text{e}.g(x)

Mais g(x), qui tend effectivement vers 1 quand x\to +\infty est une forme indéterminée du type  "0 puissance 0".

Je ne vois pas comment lever cette indétermination au niveau terminale.

Aurais-je loupé quelque chose ?

Posté par
malou Webmasterre : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 12:07

Bonjour lake !
c'est peut-être moi....on n'a pas e-1 dans la parenthèse ?

Posté par
malou Webmasterre : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 12:36

non, j'ai fait du grand n'importe quoi ! pourtant ça allait bien, dommage !!

Posté par
lakere : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 12:46

Bonjour malou,

  J'ai la vague impression que je perds pied et que j'ai vraiment loupé quelque chose.  

  Un tout début de calcul pour clarifier les choses:

f(x)= \left(e^{\sqrt{x+1}}-e^{\sqrt{x}}\right)^{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}

f(x)=\left[e^{\sqrt{x}}\left(e^{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}-1\right)\right]^{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}

f(x)=\text{e}\,\left(e^{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}-1\right)^{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}

f(x)=\text{e}\,\left(e^{\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}-1\right)^{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=\text{e}.g(x)

  On a bien \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=1 (une forme indéterminée du type "0 puissance 0") mais je n'arrive pas à le prouver proprement au niveau terminale.

Peut-être qu'on ne parle pas de la même chose?

Posté par
lakere : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 12:53

Ah! Je viens de voir: messages croisés!

Posté par
malou Webmasterre : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 12:53

je pense que tu tapais ton message et que tu n'as pas vu le mien .....

malou @ 31-12-2018 à 12:36

non, j'ai fait du grand n'importe quoi ! pourtant ça allait bien, dommage !!

Posté par
malou Webmasterre : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 12:54

et re-croisés....oui, je te dis...du grand n'importe quoi....cela ne vaut rien de bien de faire de la modération !

Posté par
lakere : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 13:13

Je vais refaire quelques tentatives mais vu le temps que j'ai déjà passé ici à pédaler dans le yaourt...

Posté par
malou Webmasterre : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 13:44

mais toshine est-il en terminale en France ? pas sûr du tout ....il a peut-être d'autres outils....

Posté par
lakere : limites de l'exponentielle 31-12-18 à 14:28

Tu as probablement raison malou:

En repartant de f(x)= \left(e^{\sqrt{x+1}}-e^{\sqrt{x}}\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}}

et le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction x\mapsto e^{\sqrt{x}} sur [x,x+1], c'est quasiment immédiat


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