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Limites de suite
Bonjour
J'ai un problème avec un DM de maths on me demande de prouver que la
limite l de la suite u(n) vérifie l = f(l) et calculer l.
Je vous donne l'énoncé :
Soit I l'intervalle [0,1]. On considère la fonction f définie par
f(x)=(3x+2)/(x+4)
1. Etudier les variations de f et en déduire que 
x élément de I, f(x) 
I. J'ai trouvé
que la fonction est croissante et que tout les termes appartiennent
à I puisque f(0)=0,5 et f(1)=1
2. On considère la suite u(n) définie par
u(0) = 0 et u(n+1) = (3 u(n) + 2)/( u(n) + 4)
Montrer que n, u(n) I.
pas de pb pour cette question
3 . a Représenter graphiquement f
b. Placer les point A0, A1, A2, A3 d'ordonnées nulle et d'abscisses
u0, u1, u2, u3.
Que suggère le graphique sur le sens de variations et sa convergence.
Pas de problème non plus
c . Etablir la relation u(n+1) - u(n) = ((1-u(n))(u(n)+2))/(u(n)+4)
et déduire le sens de variations de u(n) Pas de problème, u(n)
croissante car u(n+1) - u(n) positif
d. Démontrer que la suite u(n) est convergente. Toute suite majorée
converge
e. Prouver que la limite l de la suite u(n) vérifie l = f(l) et calculer
l
Merci d'avance pour vos réponses
bonjour
je vous donne qq indications.
1) OK vos résultats sont corrects . vous avez oublié de dire que f
est continue sur I.
en conclusion de 1 vous devez conclure que I est stable par I et plus
précisément:
qq soit x élément de I: 0<1/2<=f(x)<=1.
2) u(n+1)=f(u(n))
OK faites un raisonnement par récurence.
d'après 1 :
(u(n) appartient à I) implique (u(n+1)=f(u(n)) appartient àI)
3)a et b OK sans problème.
mais tracez aussi la bissectrice y=x et constatez la spirale carré convergente
vers un point qui est justement l'intersection de la première
bissectrice y=x et y=f(x) donc x=f(x).
ce résultat est une application du point fixe.
en effet f est contractante:
qq soit x' et x éléments de I: |f(x')-f(x)| <|x'-x|.
c) pas de problème vous avez bien justifié votre réponse.
d)NON. Le fait que Un soit majorée n'est pas suffisant. Il faut dire:
Un est suite croissante et majorée par 1 donc elle est convergente.
e) comme Un est convergente vous pouvez écrire:
l=limUn et on a aussi limU(n+1)=l.
comme f est CONTINUE donc limU(n+1)=limf(Un)=f(limUn)=f(l)
donc l=f(l).
donc l est solution de :
l=(3l+2)/(l+4) avec 0<=l<=1 car 0<Un<1
ssi l(l+4)=3l+2
ssi l²+l-2=0
voila vous n'avez plus qu'à résoudre cette équation.
bon courage
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