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Limites de suites.
Bonjour, n'étant pas habitué de ce genre de forum, je me permet d'intervenir ici qu'en dernier recours, en ayant déjà réfléchi à la question.
L'exercice est le suivant :
On considère la suite (Un) définie, pour tout entier n strictement positif, par :
Un = sin(1/n²)+sin(2/n²)+...+sin(n/n²)
1° Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier n strictement positif, par :
Vn=1/n² + 2/n² +...+ n/n².
Démontrer que la suite (Vn) converge vers 1/2.
2°a) Démontrer que chacune des trois fonctions numériques suivantes ne prend que des valeurs positives sur [0;+
)
f: x
x-sinx
g: x -1 + x²/2 + cosx
h: x -x + x3/6 + sinx
b) Sachant que 13+23+...+ n3 = [n²(n+1)²]/4
démontrer que, pour tout entuer n non nul :
Vn- 1/24 (n+1)²/n4 
Un Vn
c) Déterminer la limite de la suite (Un)
Voilà, pour la première question il faut que j aboutisse à une suite croissante et majorée, ou décroissante et majorée pour prouver qu'elle est convergente, et ainsi calculer la limite. Or les calculs deviennent honteusement compliqués et j'ai peur d avoir choisi la mauvaise piste.
Pour la question 2a), je pense que des simples tableaux de variation suffiraient.
Par contre, les deux dernières questions restent des énigmes à part entière.
Je remercie d avance celui ou celle qui daignera me venir en aide.
bonsoir TiTiMiNoU
voici qq indications:
1)Vn=1/n² + 2/n² +...+ n/n².
=(1+2+...+n)/n²
utilisez la relation 1+2+...+n=n(n+1)/2
calculer une expression de Vn sans "sommation" en fonction de n est vous allez voir qu'il est évident que limVn=1/2.
2)a)procédez comme vous l'avez mentionner.
b) utiliser le premier résultat de 2a) pour montrer que :
sin(1/n²)<=1/n²
sin(2/n²)<=2/n²
.
.
.
sin(n/n²)<=n/n²
vous sommez membres à membre et vou déduisez que Un<=Vn.
d'après 2a) vous avez h(x)>=0
donc -x + x3/6 + sinx>=0
donc
x-x^3/6<=sin(x)
procédez comme nous avons fait pour démontrer Un<=Vn.
premier terme:
1/n²-(1/n²)^3/6<=sin(1/n²)
etc
puis utilisez 1^3+2^3+...+ n^3 = [n²(n+1)²]/4
c) vous utilisez limVn=1/2 et lim(1/24 (n+1)²/n^4 )=...
vous montrez que 1/2<=limUn<=1/2
donc ...
à vous de jouer.
bon courage
Je précise que c'est un sujet qui a été donné en 1997 à Lille (c'est plus simple pour rechercher dans les moteurs de recherche pour ceux qui en ont besoin)
Bonjour
Ou tu démontres ainsi : (Méthode connu depuis Euler, ou après Euler, en tout cas depuis 18ème siècle).
http://img22.exs.cx/my.php?loc=img22ℑ=azerty2pr.png
Cordialement Yalcin
Yalcin,
pourquoi ne pas taper ta réponse directement sur le site en utilisant le LaTeX ?
Ce genre d'image est plutôt éphémère (en plus le lien ne marchait pas quand j'ai essayé) et ne pourra donc pas resservir à d'autres internautes 
j'aime pas les codes de votre latex, c'est dur à apprendre.
Y'a pas de "$"
Pfff 
On ne peut pas mettre de $ pour identifier le LaTeX sur le site.
A la place de mettre les $ ... $, il faut mettre les balises [ tex] ... [ /tex].
Je ne pense pas que ce soit très difficile à comprendre et à apprendre
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