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limites de suites
Un est la suite définie pour tout entier n par Un+1=Un/(2+Un²) et par le choix de U0.
1. Si Un converge, quelle est sa limite ?
2. Prouver que |Un+1|≤|Un|/2.
3. Déduisez-en que Un converge et précisez sa limite.
4. Etudier la monotonie de Un selon les valeurs de U0.
Bonjour Dol,
Pour la 1ere question, il faut utiliser le théorème du point fixe : "Soit f une fonction CONTINUE, et (Un) une suite récurrente définie par U0 et Un+1=f(Un). Alors si (Un) converge, cela ne peut être que vers un point fixe de f."
Ici, ta fonction est f(x)=x/(2+x^2)
Bonjour dol,
1. si la suite converge vers l alors
de sorte que ta fraction exprimant admet pour limite l et comme
converge on a
d'où à toi de résoudre cette équation pour déterminer
...
2. Ne vois-tu pas comment majorer (en minorant au plus le dénominateur par exemple)
3. Par récurrence on peut montrer que
...
Salut 
ok pour la question 2 :
|2+Un²|
|2|
|1/(2+Un²)|
|1/2|
|Un/(2+Un²)||Un/2|
|Un+1|≤|Un|/2.
Mais les autres questions je n'ai pas tellement compris.
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