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Limites de suites
J'ai un exercice qui me pose un peu (meme beaucoup) de problèmes :
Une balle de caoutchouc est lachée d'une hauteur de 81cm. A chaque fois qu'elle frappe le sol, elle rebondit aux 2/3 de la distance parcourue au cours de sa descente précédente.
a. Calculer la distance parcourue entre le moement où elle est lâchée et celui où elle touche le sol pour la deuxième fois.
b. Calculer la distance parcourue entre le moment où elle est lâchée et celui où elle touche le sol pour la 11ème fois; on indiquera une valeur apprchée de la distance à 0,5cm près.
c. Quelle distance la balle aura t elle parcourue au moment de son immobilisation c'est à dire théoriquement après une infinité de rebonds?
Merci à tous d'avance!
a) premier lancer: 81cm, puis elle rebondit à une hauteur de 2/3*81=54cm.
la deuxième fois ou la balle touche le sol elle a parcouru: 81+54=135cm.
b)si on continue ainsi: la troisième fois elle remonte à une hauteur de 54*2/3=36cm. (81*2/3*2/3=81*(2/3)²=36)
elle a donc parcouru: 81 + 81*2/3 + 81*(2/3)²
La onzième fois qu'elle touche le sol elle a parcouru:
81 + 81*2/3 + 81*(2/3)²+81*(2/3)3+81*(2/3)4+81*(2/3)5+81*(2/3)6+...+81*(2/3)10
on reconnait la somme d'une suite géométrique de premier terme 81 et de raison 2/3
donc
distance parcourue au bout de n rebonds:
Qua,nd n tend vers l'infini, (2/3)ntend vers 0 car 2/3 < 1
donc Sn tend vers 243.
Au moment de son immobilisation la balle aura parcourue 243m.
Mais j'ai une question :
A chaque fois que la balle monte, elle redescend après donc pour les distances il faut compter deux fois 2/3 de 81 ?
Ah oui, tu as raison.
Donc au deuxième rebond elle a parcouru: 81+2*54...mais reprend le raisonnement et pour le nème rebond, factorise par ce 2.
est ce que quelqu'un peut m'aider parceque c'est pour demain et je n'ai toujours pas compris, merci d'avance à tous!
salut
soit la suite U definie par :
U(0)=81
U(n+1)=(2/3)*U(n) , n>=0
U(n) est la hauteur que la balle atteint apres le n eme rebond.
c'est une suite geometrique de raison 2/3 et de premier terme 81.
a) la reponse est U(0)+2*U(1)=81+2*81*2/3=189 cm.
b) la reponse est U(0)+2*U(1)+...+2*U(10)=2*[U(0)+...+U(10)]-U(0)
U(0)+...+U(10) est la somme des 11 premiers termes de la suite geometrique de raison 2/3 et de premier terme 81.
donc U(0)+...+U(10)=81*[1-(2/3)^11]/[1-2/3]=243*[1-(2/3)^11]
donc la reponse est 486*[1-(2/3)^11]-81=399 cm a moins de 0,5 cm pres par defaut.
c) une infinite de rebonds soient n+1 le nombre de rebonds par un meme raisonnement que pour b) on voit que la distance D(n) totale parcourue est :
D(n)=486*[1-(2/3)^n]-81
(2/3)^n -> 0 quand n ->+oo car -1<2/3<1
donc lim D(n)=486-81=405 cm.
n
a verifier tout ca.
a+
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