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limites de suites

Posté par nottiuv (invité) 12-09-05 à 14:04

Voila j'aurai besoin d'aide pour ces petites questions merci d'avance.
Voici l'énoncé:
Conjecturez la limite L de la suite Un puis déterminez un rang p à partir duquel tous les termes de la suite Un sont dans l'intervalle )L-10^-4 ; L+10^-4( et un rang m à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle )L-10^-8 ; L+10^-8(.
Voici les suites:
Un=(1-3n)/(n+2) avec n supérieur ou égal à 0
U0=2 et Un+1= 1/3 Un pour n supérieur ou égal à 0.

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 14:14

Salut,

pour la première, on peut calculer directement sa limite puisqu'on a l'expression de U_n en fonction de n.

Pour n\neq 0 :
3$U_n= \frac{1-3n}{n+2}=\frac{n(\frac{1}{n}-3)}{n(1+\frac{2}{n})}= \frac{\frac{1}{n}-3}{1+\frac{2}{n}}

Donc   \lim_{n\to +\infty} (U_n)= -3 .

Posté par nottiuv (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 14:15

merci mais pour la deuxieme ?
Et pour la détermination du rang?

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 14:19

Pour la deuxième, on est face à une suite géométrique de raison \frac{1}{3} et de premier terme U_0 = 2.
Donc d'après le cours,
pour tout n \in \mathbb{N}, U_n= 2\times(\frac{1}{3})^n.


0<\frac{1}{3}<1 . Donc \lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{3})^n = 0.

Donc par produit, \lim_{n\to +\infty} (U_n) = 0.

Posté par nottiuv (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 14:20

merci beaucoup j'ai compris. Pourrais tu juste m'aider pour trouver le rang p et le rang m?

Posté par philoux (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 14:22

Bonjour,

Pour la 2, La limite vaut 0

Maintenant que tu as les L, exprimes Un(n) et trouve m

Philoux

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 14:22

Tu devrais déjà t'estimer heureux(se) que je t'aide pour la première question...

Dans cet exo, il n'y a rien de compliqué. Il suffit d'apprendre ton cours (et de réfléchir un peu), et ça je ne peux pas le faire pour toi.

En ce qui concerne la détermination du rang, je pense que tu es capable de résoudre une inéquation, non ?

Posté par nottiuv (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 14:23

je vais essayer merci du coup de main

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 14:28

Je t'en prie.

N'hésite pas à reposter si tu as un problème.

P.S : Désolée d'avoir mes nerfs sur toi, mais ici on a assez souvent à faire à des gens ingrats qui ne prennent même  pas la peine de regarder leur cours avant de nous poster des exos et qui ne prennent pas non plus la peine d'être polis...

à+

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 14:29

Lire : "d'avoir passé..."

Posté par nottiuv (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 14:30

ca ne fait rien. J'ai une dernière petite question: comment faire si je veux éudier les variations de la suite Un avec comme données Un+1= 1/3 Un;
Merci

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 14:32

Tu étudies le signe de U_{n+1}-U_n.

Posté par nottiuv (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 14:38

Ok donc ca fait :
1/3 * 2 * (1/3)^n - ( 2*(1/3)^n) et puis je développe.
Si je veux étudier la limite éventuelle de Un= n fois racine de n comment je dois m'y prendre? Merci

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 14:41


"Ok donc ca fait :
1/3 * 2 * (1/3)^n - ( 2*(1/3)^n) et puis je développe."

Oui c'est ça.

En ce qui concerne la limite de n\sqrt{n}, c'est exactement la même que la limite de f(x)=x\sqrt{x} donc tu ne devrais pas avoir de problème.


Posté par nottiuv (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 14:42

ok merci. MJ'ai tout réussi a faire a part la détermunation de p et de m pour les deux cas. Je vois pas du tout ce qui faut faire

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 15:03

Pour la première, tu dois trouver un entier naturel p à partir duquel -3-10^{-4}\le U_p \le 3+10^{-4}.

Donc :
-3-10^{-4}\le \frac{1-3p}{p+2} \le 3+10^{-4}.

Je résous tout d'abord l'inégalité de gauche.

p\in \mathbb{N} donc  p+2>0.

Donc -3-10^{-4}\le \frac{1-3p}{p+2}   implique que   (p+2)(-3-10^{-4}) \le 1-3p.

En développant : -3p-p\times10^{-4}-6-2\times10^{-4} \le 1-3p.

D'où :
-p\times10^{-4}-6-2\times10^{-4} \le 1

-3p\times10^{-4}-6 \le 1

3p\times10^{-4}+6 \ge 1

3p\times10^{-4} \ge -5

p \ge \frac{-5}{3\times 10^{-4}}


p \ge -\frac{5}{3}\times 10^4.

Cela est vrai pour tout p car p est un entier naturel.

Je te laisse faire l'autre inégalité.

à +


Posté par philoux (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 15:07

Bonjour cinnamon

tu as voulu écrire (15:03) <= -3 + 10^-4 , je pense ?

par ailleurs, -3 étant la limite atteignable par valeur positive, cette dernière inégalité est toujours vraie, non ?

Philoux

Posté par philoux (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 15:10

le -3 par valeur positive concernait, en fait, ton calcul.

c'est bien -3 + 10^4 qui est à faire

Philoux

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 15:13

"tu as voulu écrire (15:03) <= -3 + 10^-4 , je pense ?"

Oui, faute de frappe.

"par ailleurs, -3 étant la limite atteignable par valeur positive, cette dernière inégalité est toujours vraie, non ?"

C'est ce que j'ai montré par le calcul.

Posté par nottiuv (invité)re : limites de suites 12-09-05 à 18:08

jen 'arrive pas à trouver p  et m pour Un=2*(1/3)^n

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 21:07

Que désigne m ?

Posté par
cinnamonre : limites de suites 12-09-05 à 21:21

En ce qui concerne p :

U_n tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Donc on cherche p tel que 10^{-4}\le U_p\le 10^{-4}.

C'est-à_dire p tel que U_p = 10^{-4}.

2\times(\frac{1}{3})^p = 10^{-4}
(\frac{1}{3})^p = \frac{10^{-4}}{2}= 5\times 10^{-5}.

ln((\frac{1}{3})^p) = ln(5\times 10^{-5})

p\times ln(\frac{1}{3}) =ln(5\times 10^{-5})

p = \frac{ln(5\times 10^{-5})}{ln(\frac{1}{3})}.

Or ce nombre n'est pas un entier donc p n'existe pas...

Bizarre comme exo !


Posté par
cinnamonre : limites de suites 13-09-05 à 14:43

Salut,

Oublie mon post d'hier à 21h21. Il s'y est glissé une erreur de signe et toute la suite est complètement fausse .

Je reprends :

On cherche p \in \mathbb{N} tel que :
\red-10^{-4} \le U_p \le 10^{-4}.

L'inégalité de gauche est toujours vraie puisque la suite (U_n) est bornée entre 0 et 2.

Trouvons l'inégalité de droite.

U_p \le 10^{-4}

2\times(\frac{1}{3})^p \le 10^{-4}

(\frac{1}{3})^p \le 5\times 10^{-5}

ln((\frac{1}{3})^p)\le ln(5\times 10^{-5})

p\times ln(\frac{1}{3}) \le ln(5\times 10^{-5})

p \ge \frac{ln(5\times 10^{-5})}{ln(\frac{1}{3})} (car  \frac{1}{3} <1 donc  ln(\frac{1}{3})<0).

\frac{ln(5\times 10^{-5})}{ln(\frac{1}{3})} \approx 9,01.


Or p est un entier donc p =10.

Voilà.

à+






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