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Niveau terminale
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limites de suites

Posté par gaia (invité) 06-02-04 à 20:41

bonsoir je n'arrive pas à faire cet exercice   pourrait
on m'aider svp??merci beaucoup.

on a vu en 1ère la définition d'une suite convergente :

on dit que la suite (Un) définie sur N converge vers le réel l si tt
intervalle ouvert I contenant l contient également tous les termes
de la suite (Un) à partir d'un certain rang p (qui dépend de
l'intervalle I).

pour n>ou= à p Un est dans l'intervalle ouvert I contenant l

1)à partir de cette définition et en remarquant qu'un nombre fini
seulemnt de termes de (Un) sont à "l'extérieur de I" , démontrer
que toute suite convergente est bornée.
la réciproque de cette propriété est elle vraie??

2)les suites , de terme général ci dessous sont elles convergentes?
a)pour tt n de N , Un=n²   b)pour tt n de N , Un=(-1)^n * n

3)étudier la convergence de chacune des suites de terme général:

a)Un=(n²+n)/(2n²+3)
b)Un= 1/(n²+(-1)^n))  (procéder à un encadrement de Un)
c)pour n>ou= à 1 , Un=(sin n)/(n²)

je vous remercie beaucoup encore.

Posté par
watik
re : limites de suites 06-02-04 à 21:33

bonsoir permettez moi de vous aider.

1) la définition que vous avez donnée est équivalente à:

(qq soit e>0)(il existe NoEN)(n>=No implique |Un-l|<e)

(e à la place de l'habituel épsilon)

si (Un) converge alors en prenons e=1 ( par exemple) on sait qu'il
éxite NoEN tel que n>No implique que |Un-l|<1

comme |Un|=|Un-l+l|     ; en rajoutant et en retranchant l.
                    <= |Un-l|+|l|    ; inégalité triangulaire.
donc n>=No implique |Un-l|<1 implique |Un|<1+|l|

donc tous les termes Un à partir du rang No sont majorés par (1+|l|).

pour les (No-1) terme Un restant n<No appelant:

W=sup{Un, n<No}  W exite car les Un sont nobre fini.

appelons S=sup(W,1+|l|)

donc qq soit nEN Un<W si n<No ou Un<1+|l| si n>=No
donc qq soit nEN Un<S

Un est bien bornée.

la réciproque est fausse bien sûr.

considérez la suite Un=(-1)^n
vous avez |Un|=|(-1)^n|=1 donc Un est bornée. mais elle ne converge pas
puisqu'elle prend alternativement les deux valeurs distinctes
1 et -1.


2)les suites , de terme général ci dessous sont elles convergentes?
a)pour tt n de N , Un=n²  est divergente car si elle convergeait alors elle
serait bornée d'après la question 1:

donc il existerait B>0 et NoEN tel que n>=No implique |n²|<B

donc n<rc(B)   ; rc()=racine carré

donc Un est bornée uniquement pour un nombre fini de n² ce qui absurd.

donc (n²) diverge.


b)pour tt n de N , Un=(-1)^n * n

|Un|=n

donc Un n'est pas bornée donc par contraposé de l'implication
de la question 1 Un diverge.

3)étudier la convergence de chacune des suites de terme général:

a)Un=(n²+n)/(2n²+3) =((1/2)(2n²+3)+n -3/2)/(2n²+3)
        = 1/2   + (n-3/2)/(2n²+3)

comme lim((n-3/2)/(2n²+3))=lim(n/2n²)=lim(1/2n)=0

donc lim Un=1/2

b)Un= 1/(n²+(-1)^n))  
        =(n²-(-1)^n)/(n²+(-1)^n)) (n²-(-1)^n)
        = (n²-(-1)^n)/(n^4-1)
        = n²/(n^4-1)  - (-1)^n/(n^4-1)

donc

|Un|=|n²/(n^4-1)  - (-1)^n/(n^4-1) |
        <=|n²/(n^4-1)|+|(-1)^n/(n^4-1)|
        <= n²/(n^4-1)+1/(n^4-1)    ; pour n>1

comme lim (n²/(n^4-1))=lim(n²/n^4)=lim(1/n²)=0

et

lim (1/(n^4-1))=lim(1/n^4)=0

donc lim|Un|=0

donc limUn=0.


c)pour n>ou= à 1 , Un=(sin n)/(n²)

|Un|=|(sin n)/(n²) |=|sin(n)|/n²<=1/n²; car |sin(n)|<=1

comme lim(1/n²)=0 donc lim|Un|=0

donc limUn=0


voila bon courage

Posté par
otto
re : limites de suites 07-02-04 à 11:24

"La réciproque est elle vrai?"

Bien sur que non comme l'a montré Watik.
Cependant il y'a un théorème fondamental en analyse qui est le théorème
de Bolzano-Weierstrass qui nous dit que de toute suite bornée, on
peut en extraire une suite convergente.

En fait si tu te donnes une suite bornée tu ne peux pas forcement dire
qu'elle converge, mais tu peux la "composer" par une autre
suite strictement croissante (important) et cette nouvelle suite
composée sera elle convergente. Ca c'est toujours possible.

Mais c'était juste un petit point de culture.
Bonne chance pour ton exo.

Posté par gaia (invité)re : limites de suites 07-02-04 à 20:10

merci beaucoup à vous deux!!!
bonne continuation



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