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limites de suites et sens de variation d'une fonction

Posté par francois63 (invité) 31-10-07 à 17:47

Bonjour,

J'ai un exercice a faire, mais je bloque sur les questions. Merci de votre aide

Alors voici l'énoncé:

Les suites Un et Vn sont définies pour tout entier n non nul par:
Un=sin 1/n² +sin 2/n²+....+ sin n/n²
et Vn= 1/n² + 2/n² +...+ n/n²

1/ Prouvez que la suite Vn converge vers 1/2.

2a/ Prouvez que chacune des fonctions:
f: x x-sin x
g : x -1+(x²/2)+cos x
h : x -x+(xcube/6) + sin x
ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l'intervalle [0;+ infini]
(vous pouvez utiliser les variations de chacune de ces fonctions).

b/ Justifiez que pour tout n1 :
1cube + 2 cube +...+ncube n puissance 4.
Deduisez de a/ linegalité: Vn -1/6*1-n² Un Vn pour tout n non nul.

c/ Prouvez que la suite Un est convergente.
Quelle est sa limite?

Posté par
cailloux Correcteur
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 18:30

Bonjour,

1)v_n=\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\frac{n+1}{2n}

d' où \lim_{n\to +\infty}v_n=\frac{1}{2}

2)a) f'(x)=1-cos\,x\geq 0 sur [0,+\infty[

f est croissante sur [0,+\infty[ et f(x)\geq f(0) sur [0,+\infty[

soit f(x)\geq 0 sur [0,+\infty[

g'(x)=x-sin\,x=f(x)\geq 0 sur [0,+\infty[

g est croissante et g(x)\geq g(0) sur [0,+\infty[

soit g(x)\geq 0 sur [0,+\infty[

h'(x)=-1+\frac{x^2}{2}+cos\,x=g(x)\geq 0 sur [0,+\infty[

h est croissante et h(x)\geq h(0) sur [0,+\infty[

soit g(x)\geq 0 sur [0,+\infty[.

b) 1^3+2^3+\cdots+n^3 est une somme de n nombres inférieurs ou égaux à n^3

d' où 1^3+2^3+\cdots+n^3\leq n^4

On déduit du 2)a) que x-\frac{x^3}{6}\leq sin\,x\leq x sur [0,+\infty[

On peut appliquer cette inégalité à \frac{k}{n^2}\geq 0:

\frac{k}{n^2}-\frac{k^3}{6n^6}\leq sin\,\frac{k}{n^2}\leq \frac{k}{n^2}

et sommer membre à membre pour k=1,2,\cdots,n:

v_n-\frac{1}{6n^6}\Bigsum_{k=1}^{n}k^3\leq u_n\leq v_n

et comme \Bigsum_{k=1}^{n}k^3\leq n^4, on peut écrire:

v_n-\frac{1}{6n^2}\leq v_n-\frac{1}{6n^6}\Bigsum_{k=1}^{n}k^3\leq u_n\leq v_n

c)Les gendarmes permettent de conclure: \lim_{n\to +\infty}u_n=\lim_{n\to +\infty}v_n=\frac{1}{2}

Posté par francois63 (invité)re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 20:10

Bonjour,

Comment passe t-on de Vn=1+2+..+n/(n²) à n(n+1)/2/n²

Posté par
cailloux Correcteur
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 20:18

Re,

Tu peux dire, par exemple, que S_n=1+2+\cdots+n est la somme de n termes consécutifs d' une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1. (somme des n premiers entiers naturels).

d' où S_n=\text{\rm Nombre de termes}\times \frac{\text{\rm premier terme}+\text{\rm dernier terme}}{2}=n\frac{1+n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}

Donc \frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=\frac{n+1}{2n}

Posté par francois63 (invité)re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 20:21

Merci cailloux

Posté par francois63 (invité)re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 20:49

ya t-il une erreur 1+2+..n/n²=n+1/2n??

Moi je n'arrive pas a trouver ce resultat

Posté par
cailloux Correcteur
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 20:57

Non, il n' y a pas d' erreur:

\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}

Posté par francois63 (invité)re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 21:16

Exusez moi de vous derangez encore une fois ( on vient juste de commencer ce chapitre c'est pour cela que j'ai ces difficultés),

2/ je ne comprend pas pourquoi le sin et remplacé par le cos.
J'ai compris que vous avez utilisé les derivées.
C'est très flou pour moi.
Merci de votre aide

Posté par
cailloux Correcteur
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 21:44

Re,

Une chose à savoir:

(sin\,x)'=cos\,x et (cos\,x)'=-sin\,x

Je n' ai fait que dériver des sinus et des cosinus au dessus...

Posté par francois63 (invité)re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 23:03

Bonsoir,

Je ne connaissait pas ces derivés mais maintenant c'est plus clair.

Toujours pour la q2/ apres la dérivée de la fonction,
peut on dire que cos x est compris entre -1 et 1 et par consequent
de dire que la dérivé est plus grand ou égal a 0 sur [0;+infini].

b/Est il possible d'utiliser la recurrence??

Merci bcp pr votre aide

Posté par
cailloux Correcteur
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 31-10-07 à 23:37

Re,

Citation :
peut on dire que cos x est compris entre -1 et 1 et par consequent
de dire que la dérivé est plus grand ou égal a 0 sur [0;+infini].


Si tu fais allusion à f'(x)=1-cos\,x, oui et c' est exactement ce que j' ai ...pensé et pas écrit.

Citation :
b/Est il possible d'utiliser la recurrence??


Possible oui; pour l' hérédité, cela revient à démontrer que n^4+(n+1)^3\leq (n+1)^4 ce qui se fait assez bien.

Mais, à mon sens, ce n' est pas la meilleure solution.

Posté par francois63 (invité)re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 01-11-07 à 00:10

Bonsoir,

Comme on vient d'apprendre la méthode de recurrence je pense qu'il serait bien de la faire meme si l'autre méthode marche parfaitement.

b/On va montrer par recuurence que pour tout n plus grand ou egal a 1  1cube + 2cube+..+ncube plus petit ou egal a n puissance4.

1ere etape
Pour n=1  ncube plus petit ou egal a npuissance 4.
                  L'egalité est vraie.

2eme etape
On suppose que pour tout entier n plus grand ou egal a 1
1cube + 2cube+..+ncube plus petit ou egal a n puissance4.
On va montrer que 1cube + 2cube+..+n+1cube plus petit ou egal a n+1puissance4.

Mais ensuite comment faire pour le demontrer.
Merci

Posté par
cailloux Correcteur
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 01-11-07 à 00:33

Re,

Si tu y tiens...

On pose S_n=1^3+2^3+\cdots+n^3

La propriété P_n est S_n\leq n^4

Initialisation:

S_1=1^3\leq 1^4 et P_1 est vraie.

Hérédité:

On suppose que P_n est vraie pour un certain rang n fixé, c' est à dire S_n\leq n^4

S_{n+1}=S_n+(n+1)^3\leq n^4+(n+1)^3

ou bien: S_{n+1}\leq n^4+n^3+3n^2+3n+1 (1)

or, n^4+n^3+3n^2+3n+1\leq n^4+4n^3+6n^2+4n+1

c' est à dire: n^4+n^3+3n^2+3n+1\leq (n+1)^4

Avec (1), on en déduit: S_{n+1}\leq (n+1)^4 et l' hérédité est prouvée.

Mais je te le répète, ce n' est pas la bonne solution...

Posté par francois63 (invité)re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 01-11-07 à 01:11

J ai compris la derniere question il faut utiliser le theoreme des gendarmes
mais l avant derniere question j'ai du mal a faire cette demonstration lorsqu'il faut en deduire linegalité.
Courage!!!! Plus que cette question
Merci

Posté par francois63 (invité)re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 01-11-07 à 13:04

up

Posté par
cailloux Correcteur
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 02-11-07 à 17:56

Re,

Tu as :

\frac{k}{n^2}-\frac{k^3}{6n^6}\leq sin\,\frac{k}{n^2}\leq \frac{k}{n^2}

Ecrivons les n inégalités correspondant à k=1,2,\cdots,n:

\frac{1}{n^2}-\frac{1^3}{6n^6}\leq sin\,\frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n^2}

\frac{2}{n^2}-\frac{2^3}{6n^6}\leq sin\,\frac{2}{n^2}\leq \frac{2}{n^2}

\vdots \vdots \vdots

\frac{n}{n^2}-\frac{n^3}{6n^6}\leq sin\,\frac{n}{n^2}\leq \frac{n}{n^2}

et sommons les membre à membre:

\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}-\left(\frac{1^3}{6n^6}+\frac{1^3}{6n^6}+\cdots+\frac{n^3}{6n^6}\right)\leq sin\, \frac{1}{n^2}+sin\, \frac{2}{n^2}+\cdots+sin\, \frac{n}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}

soit: u_n-\frac{1}{6n^6}(1^3+2^3+\cdots+n^3)\leq v_n\leq u_n

Mais 1^3+2^3+\cdots+n^3\leq n^4 d' après 2)b).

d' où: -n^4\leq -(1^3+2^3+\cdots+n^3)

-\frac{n^4}{6n^6}\leq -\frac{1^3+2^3+\cdots+n^3}{6n^6}

et u_n-\frac{1}{6n^2}\leq u_n-\frac{1^3+2^3+\cdots+n^3}{6n^6}\leq v_n \leq u_n

d' où l' encadrement définitif de v_n:

u_n-\frac{1}{6n^2}\leq v_n \leq u_n






Posté par
titi_14
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 01-10-08 à 12:45

salut !! svp moi j'ai presque le meme exercice mais sauf que l'énoncé est un peu different on m'a donné ça
Les suites Un et Vn sont définies pour tout entier n non nul par:
Un=sin 1/n² +sin 2/n²+....+ sin n/n²
et Vn= 1/n² + 2/n² +...+ n/n²
et puis je trouve pa
2a/ Prouvez que chacune des fonctions:
f: x x-sin x
g : x -1+(x²/2)+cos x
h : x -x+(xcube/6) + sin x
ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l'intervalle [0;+ infini]
(vous pouvez utiliser les variations de chacune de ces fonctions).
il y'a direct
prouver que 1cube + 2 cube +...+ncube ≤ n puissance 4.
jusque que là je l'ai fait sans probléme
mais aprés on me pose une question :
montrer que x -x au cube/6 ≤  sinx   ≤ x   pour tout   0 ≤ x
(cette meme question vous l'avez déduit des fonctions qu'on vous a donné dans l'énoncé que j'ai pas )

Posté par
cailloux Correcteur
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 01-10-08 à 15:12

Bonjour,

Pour x\geq 0:

x-\sin\,x\geq 0 donc x\geq \,sin\,x

-x+\frac{x^3}{6}+\sin\,x\geq 0 donc \sin\,x\geq x-\frac{x^3}{6}

En résumé, pour x\geq 0: x-\frac{x^3}{6}\leq \sin\,x\leq x

Posté par
titi_14
re : limites de suites et sens de variation d'une fonction 01-10-08 à 15:24

merciii c'était pas ça mon probléme , je savais qu'il faut faire comme ça
mais je savais pas comment demontrer que x-sin x est positif et l'autre aussi tu vois !!
mais savaa j'ai bossé dessus et j'y suis arrivéé merciiiii cailloux !



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