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Limites des fonctions

Posté par
nessmath
04-11-21 à 16:18

Bonjour j'ai un travail à faire et je comprend pas trop sachant que le chapitre des fonctions on l'a même pas entamé encore.

On considère la fonction f définie par f = \frac{x-3}{x^{2}-6x+9}
1. Determiner la ou les valeurs interdites. En deduire Df l'ensemble de définition de f
2. Déterminer les limites de la fonction f à chaque des bornes de Df(quatre limites ?)
3.Que peut-on en déduire sur la representation de f en -\infty , 3 , +\infty

Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 16:20

Bonjour

c'est f(x), pas f

as-tu le droit de diviser par 0 ?
non...cela va te donner la condition pour trouver l'ensemble de définition
tu essaies ?

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 16:53

D'accord il faut donc que je trouve une intervalle sur laquelle la fonction existe.

Alors le dénominateur est une equation du second degré;
x^{2}-6x+9 = 0
Donc j'ai résolu et j'ai trouvé une seule racine réelle, x = -6
Donc Df R - { -\infty , -6 { ; } -6, +\infty }
C'est juste ?

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 16:55

Alors les parenthèses se sont enlevées
Df R - {-infini , 6{ ; } -6 , +infini }

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 16:56

Bonjour

Juste une remarque

x^2-6x+9=x^2-2\times 3\times x +3^2=(x-3)^2

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 16:58

Oui bien vu ! merci mais est-ce juste ce que j'ai fait ou je dois refaire avec votre remarque ?

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 17:09

La valeur interdite est 3  Donc il faut refaire

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 17:12

J'ai refait avec votre remarque et j'ai trouver que la valeur interdite est 3 et -3
Donc Df R - {-infini, -3 { ; {3 , +infini }

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 17:20

Il n'y a qu'une valeur interdite   à savoir  3

 D_f=]-\infty~;~3[\cup]3~;~+\infty[=\R\setminus\{3\}

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 17:27

Ah bon ? J'ai resolu l'equation (x-3)^{2}
Et du coup j'ai fait le calcul classique
x-3   x = 3   ou   x+3  x = -3
Donc j'ai deux solutions ? , eclairez moi s'il vous plaît

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 17:40

(x-3)^2=(x-3)(x-3)

vous confondez (x-3)^2 avec x^2-3^2

x^2-3^2= (x-3)(x+3)

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 17:49

Ah d'accord merci !!
Pour la 2 du coup j'ai pas compris d'où je vais sortir 4 limites ?
J'ai fait comme ce qu'on faisait pour les suites et je n'ai trouvé qu'une. On me dit en plus à chaque borne càd trouver une limite de f dans l'intervalle négative et positive ?

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 18:02

]-\infty~;~3[\cup]3~;~+\infty[ il y a bien 4 crochets donc 4 bornes

Explicitement  Calculer

\lim_{x\to -\infty}f(x)

\lim_{x\to +\infty}f(x)

\lim_{\stackrel{x\to 3}{x<3}}f(x)

\lim_{\stackrel{x\to 3}{x>3}}f(x)

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 21:55

Alors me voilà de retour, j'ai calculé ce que vous m'avez dit :

Pour la 1 quand x tend vers -\infty la limite de la fonction est 0^{-}
Pour la 2 quand x tend vers +\infty la limite de la fonction tend vers 0^{+}

Pour la 3 quand x tend vers 3 sachant x<3 la limite de la fonction tend vers \frac{0^{+}}{0^{+}} c'est une FI mais je sait pas comment la resoudre (j'avais remplacé les x par 3 et j'ai eu 0 des deux cotés)

Pour la 4 quand x tend vers 3 sachant x>3 la limite de la fonction tend \frac{0^{-}}{0^{-}} = FI ( donc pareil je dois factoriser en laissant les 3 ?)

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 22:10

Vous l'aviez la factorisation. Pourquoi ne pas commencer par simplifier

Pour tout x\not=3\quad  \dfrac{x-3}{(x-3)^2}=

après il n'y a guère de problème pour les limites

en l'infini 0 et en 3 l'infini  à vous de préciser + ou -

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 22:42

Ce qui donne :

En simplifiant \frac{x-3}{(x-3)^{2}} = \frac{1}{(x-3)}
Donc, la limite est 3-3 = 0^{-} quand x>3

Ce qui nous donne \frac{1}{0^{+}} et donc par quotient cela tend vers +\infty

Pour la 2 je procède de la même manière, et donc quand x< 3 par quotient la limite tend vers -\infty

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 22:46

Les autres que j'ai fait avec -infini et +infini sont justes ?

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 22:50

Quelques contradictions  ou une faute de frappe ?

Si x tend vers 3 par valeurs supérieures alors x-3 tend vers 0+ et non 0-

ensuite vous dites que \dfrac{1}{x+3} tend vers +\infty là c'est exact

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 04-11-21 à 22:52

En l'infini  il n'y avait pas de problème +\infty en +\infty et -\infty en -\infty

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 05-11-21 à 11:55

Merci beaucoup et du coup pour la question 3 je comprend pas trop ce qu'ils veulent dire, je dois reprénsenter les limites dans un graphique ?

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 05-11-21 à 12:03

Avez-vous entendu parler d'asymptotes ?

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 05-11-21 à 12:12

Non toujours pas, mais j'ai vu ce mot la dans le chapitre des limites des fonctions

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 05-11-21 à 12:21

La courbe représentative de f admet la droite d'équation y=\lambda  pour asymptote
lorsque  x tend vers l'infini si \displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=\lambda

La courbe représentative de f admet la droite d'équation x=\mu  pour asymptote
lorsque  x tend vers x_0 si \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\mu

La courbe se rapproche de plus en plus de la droite ou la distance entre un point de la courbe et la droite tend vers 0

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 05-11-21 à 15:44

Alors je vous donne ma réponse finale à la question :

On sait que \[x\rightarrow +\infty \; lim f(x) = 0^{+} alors Cf admet au voisinage de +\infty, une asymptote horizontale d'équation y = 0
On sait que x \rightarrow-\infty \; \lim f(x) = 0^{-} alors Cf admet, au voisinage de -\infty, une asymptote horizontale d'équation y = 0

On sait que x \rightarrow 3^{+} \; lim f(x) = +\infty alors Cf admet une asymptote verticale d'équation x = 3
On sait que x\rightarrow 3^{-} \; lim f(x)= -\infty alors Cf admet une asymptote verticale d'équation x=3.

Voilà vous me direz si je me suis trompé quelque part, merci.

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 05-11-21 à 15:49

Au lieu de  y=0 on peut dire l'axe des abscisses

Il n'est peut-être pas utile de détailler les 4 cas

Posté par
nessmath
re : Limites des fonctions 05-11-21 à 16:18

D'accord, merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
hekla
re : Limites des fonctions 05-11-21 à 16:21

De rien

Bonne fin de journée



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