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limites des fonctions trigonométriques

Posté par
bouchaib 08-02-20 à 19:09

bonsoir,
j'ai à faire de la limite suivante:
\lim_{\pi/2}\frac{(1-sin(x))(1-sin^{2}(x))\times .......\times(1-sin^{n}(x )}{cos^{2n}(x)}=L; avec n*
j'ai procédé de la manière suivante:
- je me suis placé pour n=1 limL=(1/2)(1)
pour n=2L= 1/2(1/22)
pour n=3L=1/2(1/22)(1/23),
donc j'ai pu prévoire la limite n* et c'est :
(1/2)n n!
je n'ai pas pu la faire autrement.
merci de m'orienter vers une piste plus rigoureuse.

Posté par
larrechre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 19:52

Bonjour,

Fait une récurrence.

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 20:26

bonsoir ,
je n'ai pas une égalité pour pouvoir la vérifier par récurrence mais une limite à déterminer ,
et donc je n'ai pas pu voir comment.
et pardon.

Posté par
larrechre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 21:14

Comment ça ?

Posons   U_{n-1}=\dfrac{(1-sin(x))(1-sin^{2}(x))\times .......\times(1-sin^{n-1}(x )}{cos^{2n-2}(x)}

On a bien le droit de supposer que :\lim_{x\to \pi/2} U_{n-1} = \dfrac{(n-1)!}{2^{n-1}}

et utiliser cette hypothèse pour montrer qu'alors \lim_{x\to \pi/2} U_{n} = \dfrac{n!}{2^{n}}

Quel est le terme par lequel il faut multiplier U_{n-1} pour obtenir U_n  ?

Quelle est sa limite en \pi/2 ?

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 21:28

(n/2) pour passer du premier au deuxième.

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 21:32

seulement comment a-t-on le droit de passer de la quantité U(n-1) à l'expression de l'hypothèse.
pardon  . comment pourrai-je m'inspirer pour arriver à cette hypothèse.
merci.

Posté par
larrechre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 21:35

Non ça c'est pour passer de {\blue{lim}} U_{n-1}   à   {\blue{lim}} U_n

Mais pour passer de   U_{n-1}     à  U_n  ?

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 21:42

pardon ,
je dois multiplier par (1-sinn(x)) .

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 21:48

pour arriver à cette hypothèse , s'il vous plait je dois essayer avec n =2 par exemple,
et la je peux penser à  la conjecturer .

Posté par
larrechre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 22:25

Tu oublies que le dénominateur doit passer de \cos^{2n-2}(x) à cos^{2n}(x)

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 22:29

(1-sinn(x))/cos2.
oui . pardon.

Posté par
larrechre : limites des fonctions trigonométriques 08-02-20 à 23:04

Oui. Il te reste donc à chercher \lim_{x\to\pi/2}\dfrac{1-sin^nx}{cos^2x}

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 09-02-20 à 08:10

bonjour,

cette limite est :   \frac{(n-1)}{2}

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 09-02-20 à 08:16

plutôt : n/2

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 09-02-20 à 08:21

et donc on arrive à démontrer que la limite de l'expression première est effectivement:

      \lim_{\pi/2}U_{n}=\frac{n!}{2^{n}}..

Merci beaucoup.

Posté par
larrechre : limites des fonctions trigonométriques 09-02-20 à 08:21

Oui, et comme la limite d'un produit c'est le produit des limites, on en déduit que

\lim_{x\to\pi/2} U_n=...  ?

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 09-02-20 à 08:34

merci c'est donnée ci-dessus.
il me reste s'il vous plait :
pour pouvoir émettre l'hypothèse ci-dessus ; je dois calculer U1 , U2 est c'est ainsi que cela laisse penser à notre hypothèse et puis la suite viendra logiquement , non ?

Posté par
larrechre : limites des fonctions trigonométriques 09-02-20 à 08:42

Nos posts se sont croisés.

Il te reste à présenter correctement le raisonnement par récurrence;
1/ initialisation : on montre que la formule conjecturée est vraie pour U1
2/ hérédité : on montre alors que si c'est vrai pour Un-1, alors c'est vrai pour Un
3/ conclusion.

Posté par
bouchaibre : limites des fonctions trigonométriques 09-02-20 à 08:52

oui,j'ai remarqué.
Merci beaucoup professeur.
Et très bon dimanche.

Posté par
larrechre : limites des fonctions trigonométriques 09-02-20 à 09:07

De rien, et bon dimanche à toi aussi.

mais je ne suis pas professeur...


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