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Niveau terminale
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Limites des suites

Posté par
Mercator
09-10-22 à 12:43

Bonjour, pourriez-vous m'aider pour cette exercice de niveau terminale s'il vous plaît.
Raisonner, calculer
On considère la suite (un), définie pour tout entier naturel n par un = 3n ²-8n+2.
1.a. Sans transformer un, expliquer pourquoi le calcul de la limite ( un) donne une forme indéterminée.
b.Factoriser 3n ²-8n+2 par son terme de plus haut degré, c'est-à-dire 3n ². En déduire la limite de (un).
2. En utilisant la même méthode, calculer les limites des suites(vn) et (wn) définies pour tout entier naturel n par :
a. Vn = -2n ²+4n-5;
b. Wn = 5n ³-3n ²-7n+9;
c. Xn = 10n ²-5n^4+7.
J'ai aussi une question à ton besoin d'utiliser le théorème de comparaison ou de gendarme car je sais pas c quand qu'on l'utilise.

Posté par
carpediem
re : Limites des suites 09-10-22 à 13:20

salut

1a/ il suffit d'écrire u_n = 3n^2 + (-8n + 2)

1b/ tiens quoitest-ce que je disais dans ton autre fil ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 13:27

Donc pour la 1 a) il faut pas dire que c'est parce que n^2 équivaut a + l'infini et 8n a -l'infini, parce que si j'écris la factorisation c'est que je transforme et la il demande sans transformation .

Et pour la 1 b) 3n^2(-8n+2)

lim 3n^2 = +l'infini
Lim -8n+2 = -l'infini Après je sais pas comment trouver la limite de un.

Posté par
carpediem
re : Limites des suites 09-10-22 à 13:39

incompréhensible !!

dans ce que j'ai écrit ai-je factorisé ?

1b/ il est peut-être temps d'apprendre à factoriser

a + b = a(...)

que valent les ... ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 13:48

a+b=a(1+b)
Donc 1.b.   3n^2-8n+2
En factorisant ça donne ça : 3n^2(-8n+2/n^2)
Lim 3n^2= + l'infini
Lim-8n+2/n^2 = -l'infini
Après lim un  je sais pas.

Posté par
carpediem
re : Limites des suites 09-10-22 à 13:56

Mercator @ 09-10-2022 à 13:48

a+b=a(1+b)
faux ...

il ne sert à rien de faire wouatmille exo si c'est pour ne rien retenir !!!

voir Limites et opérations

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 14:00

Je comprend pas a+b=a(1/1+b/1) c'est ça ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 14:04

a+b=a(1/a+b/a)

Posté par
carpediem
re : Limites des suites 09-10-22 à 14:12

faux et faux ...

il suffit de redévelopper pour vérifier ...

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 14:15

a(1+1/b) =a+b sinon je sais vraiment Pas désolé

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 14:35

Quelqu'un peut m'aider à continuer l'exercice s'il vous plaît ?

Posté par
carpediem
re : Limites des suites 09-10-22 à 14:46

a(1 + 1/b) = a * 1 + a * 1/b = ... ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 14:48

a+b

Posté par
carpediem
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:05

faux ...

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:05

Donc pour factoriser la suite un c'est :
3n^2(-8n+2/n^2)
Mais c'est toujours sous forme indéterminé.
Pouvez vous me dire si il faut utiliser le théorème des gendarmes ou comparaison ici ?

Posté par
carpediem
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:09

tant que tu ne sauras pas factoriser il est inutile d'apprendre autre chose ...

Posté par
malou Webmaster
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:11

Bonjour

Mercator, regarde bien cette fiche, tu as des exemples de factorisations utiles pour lever les indéterminations
Cours sur les suites

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:14

Bonjour Malou merci beaucoup

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:15

Malou peut - tu m'aider a continuer l'exercice et m'apprendre à factoriser s'il vous plaît ?

Posté par
malou Webmaster
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:19

regarde d'abord les exemples de factorisation de la fiche
ensuite tu vas savoir faire
tu as deux exemples très détaillés à la fin du paragraphe 2

edit

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:28

Ah d'accord c'est à dire 3n^2-8n+2
Pour factoriser on fait : 3n^2(-8n/n^2+2/n^2)
Donc lim 3n^2= + l'infini
Lim (-8n/n^2+2/n^2)= 0
Donc lim un = + l'infini .
Est ce que c'est bon ?

Posté par
malou Webmaster
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:32

Mercator @ 09-10-2022 à 15:28

Ah d?accord c?est à dire 3n^2-8n+2
Pour factoriser on fait : 3n^2(1-8n/n^2+2/n^2)
Donc lim 3n^2= + l?infini
Lim (-8n/n^2+2/n^2)= 0 tu dois simplifier (quand on peut) tes fractions avant de chercher les limites
Donc lim un = + l?infini .
Est ce que c?est bon ?


si tu ne mets pas 1 tu ne retrouveras jamais ton 3n² en développant

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:41

J'ai oublié le 1.
Donc lim 3n^2=+ l'infini
Et lim (1-8n^2+2/ n^2)=1
Donc lim un = + l'infini

Posté par
malou Webmaster
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:43

Mercator @ 09-10-2022 à 15:41

J'ai oublié le 1.
Donc lim 3n^2=+ l'infini
Et lim (1-8/n+2/ n^2)=1
Donc lim un = + l'infini


oui, ce sera OK avec mon corrigé

tu fais attention à ce que tu écris ? \dfrac{-8n}{n^2}=\dfrac{-8}{n}

Posté par
malou Webmaster
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:47

je quitte un peu...travaille et prépare tes autres factorisations
Quelqu'un prendra la relève ou je reviendrai voir plus tard

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 15:47

C'est à dire pas besoin de diviser par n^2 on divise par n . C'est bien cela ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 16:11

Quelqu'un peux m'aider pour la suite svp ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 16:12

Donc j'en suis à la 2.

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 16:24

Pour la 2 faut faire la même méthode que la 1.b. Alors vn= -2-n^2+4n-5
Lim -2n^2= -l'infini
Lim4n-5= + l'infini = FORME INDÉTERMINÉ
On factorise -2n^2(-1+4n/2n^2-5/2n^2)
On développe ce qu'on peut -2n^2(-1+4n/2n-5/2n^2)
Donc lim -2n^2= -l'infini
Lim (-1+4n/2n-5/2n^2)-1 +0-0 = -1
Donc lim Vn = - l'infini
Est ce que c'est bon ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 16:33

Y a-t-il quelqu'un pour me corriger s'il vous plaît ??

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 17:30

je regarde, et je reviens

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 17:38

revois ta factorisation :

tu dis que
- 2n²  + 4n  -5  =   -2n²  ( -1   +  4n/2n²  -  5/2n²  )

attention aux signes ! ta parenthèse est bonne si tu factorise par 2n², mais si tu factorises par -2n², c'est faux (quand tu factorises par -2n², il faut tout diviser par -2n²).

ta conclusion est bonne, mais c'est parceque tu fais deux fois de suite une erreur de signe...

reprends proprement, tu y es presque !
OK ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 17:46

Ok du coup c'est -2n^2(-1-4n/-2n^2+5/-2n^2)
-2n^2(-1-4n/-2n+5/2n^2)
Ainsi, lim -2n^2 = - l'infini
Lim (-1-4n/-2n+5/-2n^2) = -1-0+0= -1
J'en déduis que par somme la limite de la suite vn est égale à -l'infini .

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:02

Mercator,
Vn = -2n ² + 4n -5

écris    -2n² ,    divise par   -2n²      est ce que tu obtiens   -1 ?
non, tu obtiens 1

regarde je vais diviser chaque terme par -2n²

Vn =-2n² ( \frac{-2n²}{-2n²} + \frac{4n}{-2n²} - \frac{5}{-2n²})

ensuite seulement, tu simplifies  

Vn =-2n² ( 1 + \frac{2}{-n} - \frac{5}{-2n²})

puis tu t'occupes des signes

Vn =-2n² ( 1 - \frac{2}{n}  + \frac{5}{2n²})

quand tu seras plus à l'aise, tu pourras faire les deux étapes en même temps  

. à présent, que se passe-t-il dans la parenthèses ?
vas y !

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:09

Dans la parenthèse il ne reste plu que 1 du coup pas -1 je m'étais tromper, merci pour votre conseille.

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:09

Donc la limite vn = -l'infini

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:12

oui, dans la parenthèse, ca tend vers 1,
et   -2n²  tends vers -oo,
donc par produit (et non par somme), Vn tend vers -oo.

tu fais la suivante ?

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:16

La prochaine c'est wn = 5n^3-3n^2-7n+9
C'est une forme indéterminé donc on factorise :
5n^3(5n^3/5n^3-3n^2/5n^3-7n/5n^3+9/5n^3)

On simplifie :
5n^3(1-3n^2/5n^2-7n/5n^2+9/5n^3)
Ainsi, lim 5n^3 = + l'infini
Lim (1-3n^2-7n/5n^2+9/5n^3) = 1

Donc , Lim Wn = + l'infini

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:17

Vn tend vers -l'infini.

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:26

pour Wn , ta réponse finale est bonne.
ta factorisation (première ligne)  est bien aussi.

par contre, quand tu simplifies, il y a des erreurs : peut-être erreurs de frappe ?

5n^3(5n^3/5n^3-3n^2/5n^3-7n/5n^3+9/5n^3)

On simplifie :
5n^3(1-3n^2/5n^2-7n/5n^2+9/5n^3)
5n^3/5n^3 =  1   on est d'accord

3n^2/5n^3  =  ?        tu dis  3n² / 5n²   c'est faux.
7n/5n^3   =  ?      tu dis   7n/5n²     c'est faux aussi

mais au final, la parenthèse tend vers 1, et 5n^3  tend vers +oo
donc Wn tend vers +oo  , c'est correct.

et Vn tend vers -oo, c'est bien.

pour la dernière Xn : avant tout, ordonne correctement les termes .

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:28

Pour les simplifications c'est moi je me trompe du coup faut pas simplifier ça reste comme ça ?

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:35

mais si, il faut simplifier, mais il faut bien le faire.

\dfrac{3n²}{5n^3} = \dfrac{3*n*n}{5*n*n*n} = \dfrac{3}{5n}

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:40

Pour 7n/5n^3 avec simplification ça fait : 7/5n.

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:42

non, tu te trompes encore

\dfrac{7n}{5n^3} = \dfrac{7*n}{5*n*n*n} =  ??

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:45

7/5n^2

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:47

oui  !!!   victoire !

tu fais la dernière ?
ordonne Xn (avec les plus grandes puissances d'abord).

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 18:56

Pour la dernière, c'est une forme indéterminé donc factorisation :
-5n^4(-5n^4/-5n^4-10n^2/5n^4-7/-5n^4)
On simplifie :
-5n^4(1-10n/-5n^2-7/-5n^4)
Lim -5n^4= - l'infini
Lim(1-10n/-5n^2-7/-5n^4) =1
Donc j'en déduis enfin que lim xn = - l'infini.

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 19:09

Mercator,
sur la factorisation, tu te débrouilles bien (aux signes près), mais tu ne sais pas simplifier les fractions.
Il faut vraiment que tu revoies ça (je vais te trouver des fiches).

\dfrac{10n²}{-5n^4} = \frac{2*5*n*n}{-5*n*n*n*n} = ?

les signes :
Xn = -5n^4 + 10n² +7
1°)  tu factorises  par  -5n^4,  tu  divises par -5n^4, en gardant les signes de l'expression

2°)   tu simplifies les fractions à l'intérieur de la parenthèse

3°) tu t'occupes des signes à l'intérieur de la parenthèse

encore cette fois, ta conclusion est bonne, mais tes simplifications et les signes de la parenthèses ne le sont pas. Sur ces exercices, il n'y a pas d'incidence, mais ça ne sera pas toujours le cas.

Posté par
Mercator
re : Limites des suites 09-10-22 à 19:12

10n^2/-5n*4 = 10/-5n^2.

Posté par
Leile
re : Limites des suites 09-10-22 à 19:14

oui, et tu peux encore simplifier par 5

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