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Niveau terminale
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Limites des suites

Posté par
Mercator 09-10-22 à 21:57

Bonsoir, pourriez-vous m'aider pour cette exercice de niveau terminale s'il vous plaît  :
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=2n-4/n^2+1.

1.a. Sans transformer ( un), expliquer pourquoi le calcul de la limite ( un) donne une forme indéterminé.
b.En factorisant le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, montrer que pour tout entier naturel non nul, on a un = 2(1-4/2^n)/n(1+1/1n^2).
c. En déduire la limite de (un).

2. En utilisant la même méthode, calculer les limites de suites (vn) et (wn) définie pour tout entier naturel n par :
a)Vn= 2-5n/4n+7
b)wn= -n^3-10n+4/2n^2+3n+1.

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 22:01

Pour commencer à la 1. J'ai fais ça :
Lim 2n-4=+ l'infini
Lim n^2=+ l'infini
Donc c'est une forme indéterminé car dans le tableau des quotients + l'infini +l'infini c'est une forme indéterminé.

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 22:03

Bonsoir

Oui, mais attention à l'orthographe.

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 22:05

J'ai pas compris, quelle orthographe svp ?

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 22:12

forme indéterminée,  cet exercice

il faudrait aussi préciser que c'est la limite en + \infty

les limites sont des notions locales

Pour l'écriture de u_n n 'oubliez pas les parenthèses

u_n=(2n-4)/(n^2+1) autrement on lit u_n=2n-\dfrac{4}{n^2}+1

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 22:36

Ok merci pour la 1.b. J'ai fais :

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 22:39

Un=2n(2n/2n-4/2n)/n^2(n^2/n^2+1/n^2)
Un=2(1-4/2n)/n(1+1/n^2)

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 22:39

Est ce que c'est bon svp ?

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 22:42

Il y a une erreur dans le texte

c'est 4/(2n) et non 4/(2^n)

On obtient après factorisation  et avant simplification

u_n=\dfrac{2n(1-\frac{2}{n})}{n^2(1+\frac{1}{n^2})}

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 22:48

Oui j'ai fais une erreur dans l'énoncé merci mais pourquoi simplifier alors qu'il demande juste de montrer que un = 2(1-4/2n)/n(1+1/n^2)
D'après , 2n-4/n^2+1

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 22:51

Parce que écrire \dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n} est bien une simplification et au lieu de 4/2 on peut écrire tout simplement 2

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 22:59

Ok merci peut-on passer à la c)

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 23:04

bien sûr
que proposez-vous ?

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 23:22

Je propose :
Lim 2(1-4/2n)=-l'infini
Lim n(1+1/n^2)= + l'infini
Mais après je sais si c'est une forme indéterminé ou j'ai tort ?

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 23:32

On fait tout pour que ce ne soit plus une forme indéterminée

\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0

d'où \displaystyle \lim_{n\to +\infty}1-\dfrac{2}{n}=1

Le numérateur tend vers  le dénominateur tend bien vers l'infini donc le quotient tend vers

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 23:34

Vers +l'infini ?

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 23:41

2 \times 1=  

ensuite vous avez limite finie sur limite infinie  le quotient tend vers

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 23:43

Ah ok vers 2 donc limite finie c'est cela ?

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 23:46

\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{2}{n}=0

Il faudrait peut-être faire attention ou connaître un peu mieux le cours.

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 23:51

Ok merci

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 09-10-22 à 23:56

Il reste la 2 donc je propose ça :

Posté par
heklare : Limites des suites 09-10-22 à 23:56

2 a) ?

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:02

-5n(2/-5n-5n/-5n)/4n(4n/4n+7/4n)
= -5(2/-5n-1)/4(1+7/4n)
Lim -5(2/-5n-1)= je sais pas
Lim 4(1+7/4n)= je sais pas

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 00:11

V_n=\dfrac{ 2-5n}{4n+7 }=\dfrac{-5n(1-\frac{2}{5n})}{4n(1+\frac{7}{4n})}=\dfrac{-5(1-\frac{2}{5n})}{4(1+\frac{7}{4n})}

Vous avez vu la même chose à la question précédente. Les parenthèses tendent vers ?

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:12

0 ?

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 00:16

1+0=1

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:18

Ah d'accord donc lim Vn = 1

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 00:21

Que faites-vous de ce qu'il y a devant les parenthèses ?

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:24

Lim -5(2/-5n^2-1)= -4
Lim 4(1+7/4n)=5

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 00:27

Faites attention -5\times 1= -4 et 4\times 1=5 bravo

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:32

Ah je rectifie : lim -5(2/-5n-1) = 5 =+ l'infini
Lim 4(1+7/4n) =4 = + l'infini
Donc lim de Vn = + l'infini
Je crois que c'est cela ?

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 00:37

l'infini est bien proche s'il vaut 5, en outre, vous avez aussi oublié le signe -

Ce ne peut être cela, car \infty/\infty est une forme indéterminée.

le plus simplement possible, n'allez pas chercher midi à quatorze heures.

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:42

Ah oui c'est vrai mais du coup je sais pas .

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:43

Lim Vn= 5/4 c'est cela ?

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 00:46

presque, vous avez oublié le signe moins

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:47

Pourquoi - ?

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 00:51

Vous avez bien -5

\dfrac{-5(1-\frac{2}{5n})}{4(1+\frac{7}{4n})}

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 00:56

Ah oui c'est vrai merci

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 00:57

Rapidement, le dernier  ou plus tard dans la journée ?

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 01:03

Rapidement le dernier jsuis entrain de le faire je le poste d'ici 5 minutes .

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 01:13

En faite c'est trop long à écrire du coup c'est pas grave je le fais de moi même.
En tout cas merci beau pour tout votre aide .

Posté par
Mercatorre : Limites des suites 10-10-22 à 01:14

Bonne soirée

Posté par
heklare : Limites des suites 10-10-22 à 01:16

-\infty

De rien

Bonne nuit


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