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limites et continuité

Posté par
bouchaib
08-05-21 à 20:40

bonsoir,

exercice :  f est une fonction numérique, définie sur ]-1; 1[  telle que :
\begin{cases} f(x)= \frac{1}{x} ln(\frac{1-x^2}{1+x^2})& \text{ if } x\neq 0 \\ f(0)=0& \text{ if } x= 0 \end{cases}.
La question : f est-elle continue en x0=0 ?
Ma réponse : j'utilise la dérivabilité , la fonction f n'est pas dérivable en 0 donc  n'est pas continue en 0.
Remarque j'ai voulu le montrer par la propriété : \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(x)
je n'est pas pu faire la limf(x) en 0+ et en 0-
Merci de m'éclairer en détail s'il vous plait.

Posté par
bouchaib
re : limites et continuité 08-05-21 à 20:41

pardon : je n'ai pas pu le faire je veux dire!

Posté par
larrech
re : limites et continuité 08-05-21 à 21:04

Bonsoir,

La fonction à dériver n'est pas f mais g définie par g(x) = \ln (\dfrac{1-x^2}{1+x^2})

f(x) est le taux d'accroissement de g en 0

Posté par
bouchaib
re : limites et continuité 08-05-21 à 21:11

ah oui merci.

Posté par
breuil
re : limites et continuité 08-05-21 à 21:21

Bonjour
vous pouvez considérer f(x) comme un taux d'accroissement.
Posons g(x) = ln((1-x²)/(x²+1)) ,  g(0) =....
Le taux d'accroissement de g en 0 est [g(x) - g(0)}/x. On reconnait f(x) si x non nul.
Par définition la limite de ce taux est g'(0). (voir la déf de dérivée dans le cours de première)
Reste à calculer g'(x) puis g'(0).

Posté par
breuil
re : limites et continuité 08-05-21 à 21:23

Il s'agit de la limite du taux en 0 .

Posté par
larrech
re : limites et continuité 08-05-21 à 21:30

Sans doute n'avais-je pas été suffisamment explicite...Je vous laisse.

Posté par
bouchaib
re : limites et continuité 08-05-21 à 23:23

si j'appelle    g(s)=ln(\frac{1-x^2}{x^2+1})   g'(x)=-4x/(1-x^2)
donc     g'(0)=0=f(0) donc f est continue en x0=0 .

Puis on nous demande de calculer \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}

cette limite est le taux de variation de  f(x)=\frac{1}{x} ln(\frac{1-x^2}{1+x^2})
j'ai trouvé que la f'(x)=\frac{-1}{x^2}ln(\frac{1-x^2}{1+x^2})+\frac{4}{1-x^4}
donc f'(0) indéterminé .
Puis on me demande de calculer f'(0) ; c'est indéterminé;
Donc je me suis embrouillé. Merci de débloquer.

Posté par
LeHibou
re : limites et continuité 08-05-21 à 23:43

Bonsoir,

Citation :
Ma réponse : j'utilise la dérivabilité , la fonction f n'est pas dérivable en 0 donc  n'est pas continue en 0.

C'est inexact, une fonction peut très bien ne pas être dérivable en 0 et être néamonins continue en 0.
Deux exemples classiques : x -> |x| et x -> xsin(1/x)

Posté par
larrech
re : limites et continuité 09-05-21 à 07:26

@bouchaib

Ton calcul n'est pas tout à fait exact

f'(x)=\dfrac{-1}{x^2} \ln(\dfrac{1-x^2}{1+x^2})+\dfrac{4}{{\blue{x^4-1}}}

Or \lim_{x\to 0}\dfrac{4}{x^4-1}=-4

Donc  \lim_{x\to 0} \left(f'(x)+\dfrac{1}{x^2} \ln(\dfrac{1-x^2}{1+x^2})\right)   existe et est égale à -4

ce qui s'écrit aussi  \lim_{x\to 0} \left(f'(x)+\dfrac{f(x)}{x}\right) =-4

Comme, si elles existent, les limites en 0 de chacun des termes du membre de gauche sont égales, on en déduit que nécessairement

\lim_{x\to 0} \dfrac{f(x)}{x}\right) =-2

sauf erreur



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